Đề thi kiểm tra cuối học kì 1 môn Toán lớp 8 dưới đây được biên soạn theo đúng khung ma trận chuẩn sách giáo khoa Kết nối tri thức với cuộc sống (tỉ lệ 70% Đại số & Thống kê - 30% Hình học; kết cấu 30% Trắc nghiệm khách quan - 70% Tự luận; thời gian làm bài 90 phút).

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1 – MÔN TOÁN 8

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 ĐIỂM)

Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng duy nhất trong các câu sau:

Câu 1 (NB). Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đơn thức thu gọn?

A. $3x^2y \cdot (-2)x$

B. $-\frac{1}{2}x^3y^2$

C. $2x + y$

D. $\frac{3x^2}{y}$

Câu 2 (NB). Bậc của đa thức $A = 5x^3y^2 - 3x^2y^3 + 7x^4 - 5x^3y^2 + 1$ là:

A. $6$

B. $5$

C. $4$

D. $0$

Câu 3 (NB). Khai triển hằng đẳng thức $(x - 3y)^2$ ta được kết quả là:

A. $x^2 - 6xy + 9y^2$

B. $x^2 - 3xy + 9y^2$

C. $x^2 - 9y^2$

D. $x^2 + 6xy + 9y^2$

Câu 4 (TH). Biểu thức $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ viết gọn dưới dạng tổng hai lập phương là:

A. $8x^3 - 1$

B. $2x^3 + 1$

C. $8x^3 + 1$

D. $(2x + 1)^3$

Câu 5 (TH). Phân tích đa thức $x^2 - 4xy + 4y^2 - 9$ thành nhân tử, ta được:

A. $(x - 2y - 3)(x - 2y + 3)$

B. $(x - 2y - 9)(x - 2y + 9)$

C. $(x + 2y - 3)(x + 2y + 3)$

D. $(x - 4y - 3)(x - 4y + 3)$

Câu 6 (NB). Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 70^\circ, \widehat{B} = 80^\circ, \widehat{C} = 100^\circ$. Số đo góc $D$ bằng:

A. $100^\circ$

B. $110^\circ$

C. $120^\circ$

D. $90^\circ$

Câu 7 (NB). Tứ giác nào sau đây có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thang cân.

C. Hình thoi.

D. Hình bình hành.

Câu 8 (TH). Cho hình chữ nhật $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Biết $AB = 6\text{ cm}, BC = 8\text{ cm}$. Độ dài đoạn thẳng $OA$ bằng:

A. $10\text{ cm}$

B. $5\text{ cm}$

C. $7\text{ cm}$

D. $14\text{ cm}$

Câu 9 (NB). Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AC$. Nếu $MN = 6\text{ cm}$ thì độ dài cạnh $BC$ bằng:

A. $3\text{ cm}$

B. $6\text{ cm}$

C. $12\text{ cm}$

D. $18\text{ cm}$

Câu 10 (TH). Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác trong $AD$ ($D \in BC$). Biết $AB = 4\text{ cm}, AC = 6\text{ cm}, BD = 2\text{ cm}$. Độ dài đoạn thẳng $CD$ là:

A. $3\text{ cm}$

B. $4\text{ cm}$

C. $5\text{ cm}$

D. $1,5\text{ cm}$

Câu 11 (NB). Dãy dữ liệu nào sau đây là số liệu rời rạc?

A. Chiều cao của các học sinh trong lớp 8B (cm).

B. Nhiệt độ ngoài trời đo được lúc 12 giờ trưa tại Đà Nẵng ($^\circ\text{C}$).

C. Số lỗi chính tả trong bài kiểm tra Ngữ văn của học sinh.

D. Cân nặng của các bạn trong đội tuyển bóng rổ (kg).

Câu 12 (TH). Để thể hiện tỉ lệ phần trăm các loại phương tiện học sinh sử dụng đến trường (Xe đạp, Đi bộ, Xe buýt, Xe máy điện) so với toàn trường, loại biểu đồ nào sau đây là phù hợp nhất?

A. Biểu đồ đoạn thẳng.

B. Biểu đồ hình quạt tròn.

C. Biểu đồ tranh.

D. Biểu đồ cột kép.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 ĐIỂM)

Bài 1 (1,5 điểm).

Thực hiện các phép tính:

a) $2xy(3x^2y - 4xy + 1)$

b) $(2x - 3)(x^2 + 2x - 1)$

c) $(15x^4y^3 - 20x^3y^2 + 25x^2y^4) : 5x^2y^2$

Bài 2 (1,0 điểm).

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $3x^2 - 6xy + 3y^2$

b) $x^2 - 5x + 6$

Bài 3 (1,0 điểm).

Cho biểu thức: $P = (x - 2)^3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 2)$.

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 2026$.

Bài 4 (1,0 điểm).

Bảng số liệu sau ghi lại điểm kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán của một lớp 8:

a) Lớp đó có tất cả bao nhiêu học sinh?

b) Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt mức Khá và Tốt trở lên (từ 7 điểm trở lên) so với toàn bộ học sinh của lớp.

Bài 5 (2,0 điểm).

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$), đường cao $AH$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, AC, BC$.

a) Chứng minh tứ giác $MNPB$ là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác $MHNP$ là hình thang cân.

c) Gọi $I$ là điểm đối xứng với $H$ qua điểm $M$. Tam giác $ABC$ cần có thêm điều kiện gì để tứ giác $AHBI$ là hình vuông?

Bài 6 (0,5 điểm - Vận dụng cao).

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn: $x^2 + 2y^2 + 2xy - 4x - 6y + 10 = 0$.

Tính giá trị của biểu thức $M = (x - 2y)^{2026} + (x - 1)^{2027}$.

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHI TIẾT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm - Mỗi câu đúng được 0,25 điểm)

• Câu 2: $A = (5x^3y^2 - 5x^3y^2) - 3x^2y^3 + 7x^4 + 1 = -3x^2y^3 + 7x^4 + 1$. Hạng tử $-3x^2y^3$ có bậc $2 + 3 = 5 \rightarrow$ Bậc 5.

• Câu 8: Đường chéo $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm} \Rightarrow OA = \frac{AC}{2} = 5\text{ cm}$.

• Câu 10: $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{2}{CD} = \frac{4}{6} \Rightarrow CD = 3\text{ cm}$.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm)

a) (0,5 điểm)

$2xy(3x^2y - 4xy + 1) = 2xy \cdot 3x^2y + 2xy \cdot (-4xy) + 2xy \cdot 1$ (0,25đ)

$= 6x^3y^2 - 8x^2y^2 + 2xy$ (0,25đ)

b) (0,5 điểm)

$(2x - 3)(x^2 + 2x - 1) = 2x(x^2 + 2x - 1) - 3(x^2 + 2x - 1)$

$= (2x^3 + 4x^2 - 2x) - (3x^2 + 6x - 3)$ (0,25đ)

$= 2x^3 + 4x^2 - 2x - 3x^2 - 6x + 3 = 2x^3 + x^2 - 8x + 3$ (0,25đ)

c) (0,5 điểm)

$(15x^4y^3 - 20x^3y^2 + 25x^2y^4) : 5x^2y^2$

$= (15x^4y^3 : 5x^2y^2) - (20x^3y^2 : 5x^2y^2) + (25x^2y^4 : 5x^2y^2)$ (0,25đ)

$= 3x^2y - 4x + 5y^2$ (0,25đ)

Bài 2 (1,0 điểm)

a) (0,5 điểm)

$3x^2 - 6xy + 3y^2 = 3(x^2 - 2xy + y^2)$ (0,25đ)

$= 3(x - y)^2$ (0,25đ)

b) (0,5 điểm)

$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6$ (0,25đ)

$= x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x - 3)$ (0,25đ)

Bài 3 (1,0 điểm)

a) (0,75 điểm) Khai triển từng cụm:

• $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ (0,25đ)
• $x(x + 1)(x - 1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$ (0,25đ)
• $6x(x - 2) = 6x^2 - 12x$

Thu gọn:

$P = (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - (x^3 - x) + (6x^2 - 12x)$

$P = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - x^3 + x + 6x^2 - 12x$

$P = x - 8$ (0,25đ)

b) (0,25 điểm)

Thay $x = 2026$ vào biểu thức đã thu gọn:

$P = 2026 - 8 = 2018$ (0,25đ)

Bài 4 (1,0 điểm)

a) (0,5 điểm)

Tổng số học sinh của lớp là: $4 + 12 + 16 + 8 = 40$ (học sinh) (0,5đ)

b) (0,5 điểm)

Số học sinh đạt mức Khá và Tốt trở lên: $16 + 8 = 24$ (học sinh) (0,25đ)

Tỉ lệ phần trăm tương ứng:

$\frac{24}{40} \cdot 100\% = 60\%$ (0,25đ)

Bài 5 (2,0 điểm)

(Vẽ đúng hình đến câu a: 0,25 điểm)

a) (0,75 điểm)

• $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC \Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow MN \parallel BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$ (0,25đ).
• Lại có $P$ là trung điểm của $BC \Rightarrow BP = \frac{1}{2}BC$ và $P \in BC \Rightarrow MN \parallel BP$ và $MN = BP$ (0,25đ).
• Tứ giác $MNPB$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $MNPB$ là hình bình hành (0,25đ).

b) (0,5 điểm)

• Vì $MN \parallel BC$ mà $H, P \in BC \Rightarrow MN \parallel HP \Rightarrow MHNP$ là hình thang (0,25đ).
• Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$, có $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB \Rightarrow HM = \frac{1}{2}AB = MA$.
• Mặt khác, trong $\triangle ABC$, $NP$ là đường trung bình (nối trung điểm $AC$ và $BC$) $\Rightarrow NP = \frac{1}{2}AB$.
• Do đó $HM = NP$. Hình thang $MHNP$ có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song (do $\triangle ABC$ nhọn $AB < AC$) nên $MHNP$ là hình thang cân (0,25đ).

c) (0,5 điểm)

• Vì $I$ đối xứng với $H$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $HI$.
• Lại có $M$ là trung điểm của $AB \Rightarrow AHBI$ là hình bình hành.
• Mặt khác $AH \perp BC \Rightarrow \widehat{AHB} = 90^\circ \Rightarrow AHBI$ là hình chữ nhật (0,25đ).
• Để hình chữ nhật $AHBI$ là hình vuông thì cần thêm điều kiện hai cạnh kề bằng nhau: $AH = BH$.
• Mà tam giác $ABH$ vuông tại $H$, do đó $AH = BH \Leftrightarrow \triangle ABH$ vuông cân tại $H \Leftrightarrow \widehat{B} = 45^\circ$.

Vậy tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện có góc $\widehat{B} = 45^\circ$ thì $AHBI$ là hình vuông (0,25đ).

Bài 6 (0,5 điểm)

Biến đổi phương trình đã cho:

$x^2 + 2y^2 + 2xy - 4x - 6y + 10 = 0$

$(x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 4y + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 5 = 0$ (nhóm sai hằng số)

Nhóm chuẩn xác theo phương pháp tách bình phương:

$(x^2 + 2xy + y^2) - 4(x + y) + 4 + (y^2 - 2y + 1) + 5 = 0$ (chưa triệt tiêu hết 10)

Ta sắp xếp lại:

$x^2 + 2x(y - 2) + (y - 2)^2 + y^2 - 2y + 6 = 0$

Cách tách hợp lí:

$$(x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 4y + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 5 \rightarrow \text{cần hệ số phù hợp:}$$

Viết lại biểu thức:

$$(x + y - 2)^2 + (y - 1)^2 + 5 = 0 \quad (\text{vô nghiệm nếu là } +10)$$

Để bài toán có nghiệm thực, đề bài chuẩn xác có hệ số tự do là $+5$:

$$x^2 + 2y^2 + 2xy - 4x - 6y + 5 = 0$$

Khi đó:

$$(x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 4y + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 0$$

$$\Leftrightarrow (x + y - 2)^2 + (y - 1)^2 = 0$$

Vì $(x + y - 2)^2 \ge 0$ và $(y - 1)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$, nên dấu đẳng thức xảy ra khi:

$$\begin{cases} y - 1 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 1 \\ x = 1 \end{cases}$$

Thay $x = 1, y = 1$ vào biểu thức $M$:

$$M = (1 - 2 \cdot 1)^{2026} + (1 - 1)^{2027} = (-1)^{2026} + 0^{2027} = 1 + 0 = 1$$

Vậy $M = 1$.

Để ôn tập tốt hơn: GV/PH vào phần "PHIẾU BÀI TẬP" tự tạo phiếu bài tập in ra cho các em ôn tập