Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương - lớp 8

1. Tổng hai lập phương

Với hai biểu thức đại số tùy ý $A$ và $B$, ta có hằng đẳng thức:

$$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$$

Quy ước: Biểu thức $A^2 - AB + B^2$ được gọi là bình phương thiếu của một hiệu (vì thiếu hệ số $2$ ở số hạng giữa so với $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$).

Phát biểu bằng lời: Tổng hai lập phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức đó với bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Ví dụ:

• Viết dưới dạng tích: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$
• Khai triển: $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = (2x + 1)[(2x)^2 - (2x) \cdot 1 + 1^2] = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1$
• Tính nhanh: $101 \cdot 9901 = (100 + 1)(100^2 - 100 \cdot 1 + 1^2) = 100^3 + 1^3 = 1\,000\,001$

2. Hiệu hai lập phương

Với hai biểu thức đại số tùy ý $A$ và $B$, ta có hằng đẳng thức:

$$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$$

Quy ước: Biểu thức $A^2 + AB + B^2$ được gọi là bình phương thiếu của một tổng (vì thiếu hệ số $2$ ở số hạng giữa so với $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$).

Phát biểu bằng lời: Hiệu hai lập phương của hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức đó với bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Ví dụ:

• Viết dưới dạng tích: $8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)[(2x)^2 + (2x) \cdot 3 + 3^2] = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$
• Khai triển: $(x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) = x^3 - (3y)^3 = x^3 - 27y^3$
• Tính nhanh: $99 \cdot 10101 = (100 - 1)(100^2 + 100 \cdot 1 + 1^2) = 100^3 - 1^3 = 999\,999$

3. Tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
2. $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
3. $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$
4. $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
5. $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$
6. $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
7. $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Viết các đa thức sau dưới dạng tích

Đề bài:

a) $27x^3 + y^3$

b) $64a^3 - 1$

c) $8x^3 - 125y^6$

Lời giải:

a) $27x^3 + y^3 = (3x)^3 + y^3 = (3x + y)[(3x)^2 - (3x) \cdot y + y^2] = (3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2)$

b) $64a^3 - 1 = (4a)^3 - 1^3 = (4a - 1)[(4a)^2 + 4a \cdot 1 + 1^2] = (4a - 1)(16a^2 + 4a + 1)$

c) $8x^3 - 125y^6 = (2x)^3 - (5y^2)^3 = (2x - 5y^2)[(2x)^2 + (2x) \cdot (5y^2) + (5y^2)^2] = (2x - 5y^2)(4x^2 + 10xy^2 + 25y^4)$

Ví dụ 2: Khai triển và rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn các biểu thức:

a) $P = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) - (54 + x^3)$

b) $Q = (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) + (y - 3x)(y^2 + 3xy + 9x^2)$

Lời giải:

a) Nhận biết hằng đẳng thức tổng hai lập phương:

$$\begin{aligned} P &= [x^3 + 3^3] - (54 + x^3) \\ &= x^3 + 27 - 54 - x^3 \\ &= -27 \end{aligned}$$

b) Nhận biết các hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:

$$\begin{aligned} Q &= [(2x)^3 - y^3] + [y^3 - (3x)^3] \\ &= (8x^3 - y^3) + (y^3 - 27x^3) \\ &= 8x^3 - y^3 + y^3 - 27x^3 \\ &= -19x^3 \end{aligned}$$

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức

Đề bài: Cho biểu thức $M = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + 8y^3$. Tính giá trị của $M$ khi $x = -5$ và $y = 2026$.

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn biểu thức $M$:

$$\begin{aligned} M &= [x^3 - (2y)^3] + 8y^3 \\ &= x^3 - 8y^3 + 8y^3 \\ &= x^3 \end{aligned}$$

(Biểu thức sau khi rút gọn không còn phụ thuộc vào biến $y$).

Bước 2: Thay $x = -5$ vào $M$:

$$M = (-5)^3 = -125$$

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức luôn dương (Vận dụng nâng cao)

Đề bài: Chứng minh rằng bình phương thiếu của một tổng $A = x^2 + x + 1$ luôn nhận giá trị dương với mọi số thực $x$.

Lời giải:

Biến đổi biểu thức về dạng bình phương cộng một hằng số:

$$\begin{aligned} A &= x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \\ &= \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \end{aligned}$$

Vì $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên:

$$A = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0 \quad \forall x$$

Vậy $x^2 + x + 1 > 0$ với mọi số thực $x$.