Bài 14: Hình thoi và hình vuông - lớp 8

Phần 1. Hình thoi

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác $ABCD$ là hình thoi khi và chỉ khi:

$$AB = BC = CD = DA$$

Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau).

2. Tính chất của hình thoi

Hình thoi mang đầy đủ tất cả các tính chất của hình bình hành, ngoài ra còn có hai tính chất đặc trưng về đường chéo:

1. Hai đường chéo vuông góc với nhau: $AC \perp BD$ tại giao điểm $O$.
2. Đường chéo là đường phân giác: Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh mà nó đi qua (ví dụ: $AC$ là phân giác của $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$; $BD$ là phân giác của $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$).
3. Đối xứng: Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng; hai đường thẳng chứa hai đường chéo là hai trục đối xứng.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, ta sử dụng 1 trong 4 dấu hiệu:

1. Dấu hiệu 1 (Từ tứ giác): Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
2. Dấu hiệu 2 (Từ hình bình hành - cạnh kề): Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
3. Dấu hiệu 3 (Từ hình bình hành - đường chéo vuông góc): Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
4. Dấu hiệu 4 (Từ hình bình hành - phân giác): Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Phần 2. Hình vuông

1. Định nghĩa

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác $ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi:

$$\begin{cases} \widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ \\ AB = BC = CD = DA \end{cases}$$

Mối quan hệ:

• Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau.
• Hình vuông là hình thoi có 4 góc vuông.

2. Tính chất của hình vuông

Hình vuông hội tụ đầy đủ tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi:

1. Về cạnh và góc: Bốn cạnh bằng nhau, bốn góc bằng nhau và bằng $90^\circ$.
2. Về đường chéo:
   • Hai đường chéo bằng nhau ($AC = BD$).
   • Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ($OA = OB = OC = OD$).
   • Vuông góc với nhau ($AC \perp BD$).
   • Là đường phân giác của các góc của hình vuông (tạo với các cạnh các góc $45^\circ$).
3. Đối xứng: Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng; có 4 trục đối xứng (hai đường chéo và hai đường trung trực của các cạnh đối).

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Ta có thể nhận biết hình vuông xuất phát từ hình chữ nhật hoặc từ hình thoi:

Từ hình chữ nhật (cần thêm 1 tính chất của hình thoi):

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Từ hình thoi (cần thêm 1 tính chất của hình chữ nhật): 4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. 5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Phần 3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính toán cạnh và góc của hình thoi

Đề bài: Cho hình thoi $ABCD$ có góc $\widehat{A} = 60^\circ$ và đường chéo ngắn $BD = 6\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh của hình thoi và độ dài đường chéo $AC$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = AD$, suy ra $\triangle ABD$ cân tại $A$.

Tam giác cân $\triangle ABD$ có $\widehat{A} = 60^\circ$ nên là tam giác đều.

Do đó: $AB = AD = BD = 6\text{ cm}$. Vậy độ dài cạnh của hình thoi là $6\text{ cm}$.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$ tại trung điểm $O$ của mỗi đường:

$$OB = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $\triangle OAB$:

$$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\text{ cm}$$

Độ dài đường chéo $AC$:

$$AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$$

Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$.

a) Tứ giác $ABDC$ là hình gì?

b) Để tứ giác $ABDC$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện gì?

Lời giải:

a) Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $AD$.

Tam giác $ABC$ có $AM$ là trung tuyến nên $M$ là trung điểm của $BC$.

Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mặt khác, $\triangle ABC$ cân tại $A$ có trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao, suy ra $AM \perp BC$, hay $AD \perp BC$.

Hình bình hành $ABDC$ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên $ABDC$ là hình thoi.

b) Hình thoi $ABDC$ là hình vuông khi và chỉ khi có một góc vuông, tức là $\widehat{BAC} = 90^\circ$.

Vậy tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện vuông cân tại $A$ thì $ABDC$ là hình vuông.

Ví dụ 3: Chứng minh một tứ giác là hình vuông từ hình chữ nhật

Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $AB, BC, CD, DA$ lần lượt lấy các điểm $M, N, P, Q$ sao cho $AM = BN = CP = DQ$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ và $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$.

Từ $AM = BN = CP = DQ$, ta suy ra:

$$MB = NC = PD = QA$$

Xét 4 tam giác vuông $\triangle QAM, \triangle MBN, \triangle NCP, \triangle PDQ$:

Chúng có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một ($AM = BN = CP = DQ$ và $QA = MB = NC = PD$).

Suy ra:

$$\triangle QAM = \triangle MBN = \triangle NCP = \triangle PDQ \text{ (hai cạnh góc vuông)}$$

• Về cạnh: $QM = MN = NP = PQ$ (các cạnh tương ứng) $\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi.

• Về góc: Xét đỉnh $M$, ta có:

  $\widehat{QMA} + \widehat{BMN} = \widehat{QMA} + \widehat{AQM} = 90^\circ$ (do $\triangle QAM$ vuông tại $A$).

  Mà $\widehat{QMA} + \widehat{QMN} + \widehat{BMN} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{QMN} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

  Hình thoi $MNPQ$ có một góc vuông ($\widehat{QMN} = 90^\circ$) nên $MNPQ$ là hình vuông.