Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu - lớp 8

1. Lập phương của một tổng

Với hai biểu thức đại số tùy ý $A$ và $B$, ta có hằng đẳng thức:

$$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$$

Phát biểu bằng lời: Lập phương của một tổng hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất, cộng ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất với bình phương biểu thức thứ hai, cộng lập phương biểu thức thứ hai.

Dạng biến đổi hỗ trợ tính nhanh:

$$(A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A + B)$$

Ví dụ:

• Khai triển: $(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
• Viết thành lập phương: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$
• Tính nhẩm nhanh: $101^3 = (100 + 1)^3 = 100^3 + 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 + 1^3 = 1\,000\,000 + 30\,000 + 300 + 1 = 1\,030\,301$

2. Lập phương của một hiệu

Với hai biểu thức đại số tùy ý $A$ và $B$, ta có hằng đẳng thức:

$$(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$$

Phát biểu bằng lời: Lập phương của một hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất, trừ ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất với bình phương biểu thức thứ hai, trừ lập phương biểu thức thứ hai.

Dạng biến đổi hỗ trợ tính nhanh:

$$(A - B)^3 = A^3 - B^3 - 3AB(A - B)$$

Chú ý: Lập phương của hai biểu thức đối nhau thì đối nhau:

$$(A - B)^3 = -(B - A)^3$$

Ví dụ:

• Khai triển: $(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2x) \cdot 1^2 - 1^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$
• Viết thành lập phương: $x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 - (2y)^3 = (x - 2y)^3$
• Tính nhẩm nhanh: $99^3 = (100 - 1)^3 = 100^3 - 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 - 1^3 = 1\,000\,000 - 30\,000 + 300 - 1 = 970\,299$

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Khai triển biểu thức

Đề bài: Khai triển các biểu thức sau:

a) $\left(2x + \frac{1}{3}\right)^3$

b) $\left(x^2 - 3y\right)^3$

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng:

$$\begin{aligned} \left(2x + \frac{1}{3}\right)^3 &= (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot (2x) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 \\ &= 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot \frac{1}{3} + 6x \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{27} \\ &= 8x^3 + 4x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{27} \end{aligned}$$

b) Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu:

$$\begin{aligned} \left(x^2 - 3y\right)^3 &= (x^2)^3 - 3 \cdot (x^2)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (x^2) \cdot (3y)^2 - (3y)^3 \\ &= x^6 - 9x^4y + 27x^2y^2 - 27y^3 \end{aligned}$$

Ví dụ 2: Viết đa thức dưới dạng lập phương của một tổng hoặc hiệu

Đề bài: Thu gọn đa thức về dạng lập phương:

a) $P = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

b) $Q = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$

Lời giải:

a) Ta có:

$$\begin{aligned} P &= (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3 \\ &= (2x + y)^3 \end{aligned}$$

b) Ta có:

$$\begin{aligned} Q &= (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 - 2^3 \\ &= (3x - 2)^3 \end{aligned}$$

Ví dụ 3: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

Đề bài: Cho đa thức $M = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$. Tính giá trị của $M$ tại $x = 103$.

Lời giải:

Bước 1: Viết đa thức dưới dạng hằng đẳng thức:

$$M = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = (x - 3)^3$$

Bước 2: Thay $x = 103$ vào biểu thức đã thu gọn:

$$M = (103 - 3)^3 = 100^3 = 1\,000\,000$$

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức tổng hợp

Đề bài: Rút gọn biểu thức:

$$A = (x + 2y)^3 - (x - 2y)^3$$

Lời giải:

Khai triển hai biểu thức:

$$\begin{aligned} (x + 2y)^3 &= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 \\ (x - 2y)^3 &= x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 \end{aligned}$$

Thực hiện phép trừ:

$$\begin{aligned} A &= (x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) - (x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3) \\ &= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 - x^3 + 6x^2y - 12xy^2 + 8y^3 \\ &= (x^3 - x^3) + (6x^2y + 6x^2y) + (12xy^2 - 12xy^2) + (8y^3 + 8y^3) \\ &= 12x^2y + 16y^3 \end{aligned}$$