Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu - lớp 8

1. Hằng đẳng thức

Khái niệm: Đẳng thức mà hai vế luôn nhận giá trị bằng nhau với mọi giá trị của các biến được gọi là một đồng nhất thức (hay hằng đẳng thức).

2. Hiệu hai bình phương

Với hai biểu thức đại số tùy ý $A$ và $B$, ta có hằng đẳng thức:

$$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$$

Quy tắc áp dụng:

• Chiều xuôi (Khai triển): Tích của hiệu hai biểu thức với tổng của chúng bằng hiệu các bình phương của hai biểu thức đó: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.
• Chiều ngược (Phân tích): Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Ví dụ:

• Khai triển: $(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$
• Viết dưới dạng tích: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$
• Tính nhanh: $52 \cdot 48 = (50 + 2)(50 - 2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4 = 2496$

3. Bình phương của một tổng

Với hai biểu thức đại số tùy ý $A$ và $B$, ta có:

$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$

Phát biểu bằng lời: Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất, cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng bình phương biểu thức thứ hai.

Ví dụ:

• Khai triển: $(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
• Viết thành bình phương: $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$
• Tính nhẩm nhanh: $51^2 = (50 + 1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$

4. Bình phương của một hiệu

Với hai biểu thức đại số tùy ý $A$ và $B$, ta có:

$$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$$

Phát biểu bằng lời: Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất, trừ hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng bình phương biểu thức thứ hai.

Chú ý: Bình phương của hai biểu thức đối nhau thì bằng nhau:

$$(A - B)^2 = (B - A)^2$$

Ví dụ:

• Khai triển: $(3x - 2y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
• Viết thành bình phương: $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$
• Tính nhẩm nhanh: $99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$

5. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Khai triển biểu thức

Đề bài: Khai triển các biểu thức sau:

a) $\left(x + \frac{1}{2}y\right)^2$

b) $\left(3x - 2y^2\right)^2$

c) $\left(2x - \frac{1}{3}\right)\left(2x + \frac{1}{3}\right)$

Lời giải:

1. a$\left(x + \frac{1}{2}y\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \left(\frac{1}{2}y\right) + \left(\frac{1}{2}y\right)^2 = x^2 + xy + \frac{1}{4}y^2$
2. $\left(3x - 2y^2\right)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot \left(2y^2\right) + \left(2y^2\right)^2 = 9x^2 - 12xy^2 + 4y^4$
3. $\left(2x - \frac{1}{3}\right)\left(2x + \frac{1}{3}\right) = (2x)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 4x^2 - \frac{1}{9}$

Ví dụ 2: Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu

Đề bài:

a) $M = 25x^2 + 20xy + 4y^2$

b) $N = 9x^2 - 6x + 1$

Lời giải:

a) $M = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (5x + 2y)^2$

b) $N = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$

Ví dụ 3: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

Đề bài: Cho biểu thức $P = (2x + 3)^2 + (2x - 3)^2 - 2(2x + 3)(2x - 3)$.

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Tính giá trị của $P$ khi $x = 2026$.

Lời giải:

a) Nhận xét: Đặt $A = 2x + 3$ và $B = 2x - 3$, biểu thức $P$ có dạng:

$$A^2 + B^2 - 2AB = (A - B)^2$$

Do đó:

$$\begin{aligned} P &= [(2x + 3) - (2x - 3)]^2 \\ &= (2x + 3 - 2x + 3)^2 \\ &= 6^2 = 36 \end{aligned}$$

b) Vì $P = 36$ với mọi giá trị của $x$, nên tại $x = 2026$, giá trị của $P$ vẫn bằng 36.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (Vận dụng nâng cao)

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x^2 - 4x + 9$.

Lời giải:

Tách và đưa về dạng bình phương của một hiệu:

$$\begin{aligned} A &= (x^2 - 4x + 4) + 5 \\ &= (x - 2)^2 + 5 \end{aligned}$$

Vì $(x - 2)^2 \ge 0$ với mọi số thực $x$, nên:

$$A = (x - 2)^2 + 5 \ge 5$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $5$ khi $x = 2$.