Bài 13: Hình chữ nhật - lớp 8

1. Định nghĩa hình chữ nhật

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi:

$\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$

Nhận xét:

• Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành (vì có các cặp góc đối bằng nhau: $90^\circ = 90^\circ$).
• Hình chữ nhật cũng là một hình thang cân (hình thang có hai góc kề đáy bằng $90^\circ$).

2. Tính chất của hình chữ nhật

Vì hình chữ nhật là hình bình hành và là hình thang cân, nên nó mang đầy đủ tính chất của cả hai hình này:

1. Về cạnh: Các cạnh đối song song và bằng nhau ($AB \parallel CD, AB = CD$ và $AD \parallel BC, AD = BC$).
2. Về góc: Bốn góc bằng nhau và bằng $90^\circ$.
3. Về đường chéo: Hai đường chéo bằng nhau ($AC = BD$) và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ($OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}AC$).
4. Đối xứng: Giao điểm hai đường chéo $O$ là tâm đối xứng; hai đường trung trực của các cạnh đối là hai trục đối xứng.

Định lí áp dụng vào tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền:

  Nếu $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có $M$ là trung điểm của $BC$ thì $AM = \frac{1}{2}BC$.

• Ngược lại, nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta áp dụng 1 trong 4 dấu hiệu:

1. Dấu hiệu 1 (Từ tứ giác): Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.
2. Dấu hiệu 2 (Từ hình thang cân): Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
3. Dấu hiệu 3 (Từ hình bình hành - theo góc): Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
4. Dấu hiệu 4 (Từ hình bình hành - theo đường chéo): Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật (Dấu hiệu 3 góc vuông)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Từ điểm $M$ bất kì trên cạnh huyền $BC$, kẻ $MD \perp AB$ tại $D$ và $ME \perp AC$ tại $E$. Tứ giác $ADME$ là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Xét tứ giác $ADME$, ta có:

• $\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)
• $\widehat{ADM} = 90^\circ$ (do $MD \perp AB$)
• $\widehat{AEM} = 90^\circ$ (do $ME \perp AC$)
  • Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông nên $ADME$ là hình chữ nhật.

Ví dụ 2: Ứng dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh huyền $BC$ và trung tuyến $AM$.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $ABC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$$

Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$, nên:

$$AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\text{ cm}$$

Ví dụ 3: Chứng minh hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua điểm $M$. Chứng minh rằng tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $AD$.

Mặt khác, $AM$ là trung tuyến của $\triangle ABC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$.

Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường, do đó $ABDC$ là hình bình hành.

Hình bình hành $ABDC$ lại có $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).

Vậy $ABDC$ là hình chữ nhật.