Ôn tập Chương II: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng - lớp 8

Phần 1. Trắc nghiệm khách quan

Câu 1. Khai triển của hằng đẳng thức $(2x - 3y)^2$ là:

A. $4x^2 - 6xy + 9y^2$

B. $4x^2 - 12xy + 9y^2$

C. $2x^2 - 12xy + 3y^2$

D. $4x^2 + 12xy + 9y^2$

Câu 2. Biểu thức $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ viết gọn thành hằng đẳng thức nào?

A. $x^3 + 8$

B. $x^3 - 8$

C. $(x + 2)^3$

D. $(x - 2)^3$

Câu 3. Biểu thức nào sau đây là bình phương thiếu của một tổng đối với $x$ và $3$?

A. $x^2 + 6x + 9$

B. $x^2 - 3x + 9$

C. $x^2 + 3x + 9$

D. $x^2 - 6x + 9$

Câu 4. Phân tích đa thức $x^2 - 4y^2$ thành nhân tử, ta được:

A. $(x - 4y)(x + 4y)$

B. $(x - 2y)^2$

C. $(x + 2y)^2$

D. $(x - 2y)(x + 2y)$

Câu 5. Giá trị của biểu thức $P = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ tại $x = 101$ là:

A. $1\,000\,000$

B. $1\,030\,301$

C. $10\,000$

D. $970\,299$

Phần 2. Tự luận rèn luyện kỹ năng

Dạng 1: Rút gọn và chứng minh đẳng thức

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2$

b) $B = (x - 2)^3 - (x + 2)^3 + 12x^2$

c) $C = (x - 1)(x^2 + x + 1) - (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Bài 2. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$:

$$P = (x - 1)^3 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + 3x(x - 1)$$

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $3x^2(y - 1) - 6x(y - 1)$

b) $x^2 - 9 + (x - 3)^2$

c) $x^2 - 2xy + y^2 - 25$

d) $x^3 - 4x^2 + 4x$

e) $x^2 - 7x + 12$

Dạng 3: Tìm $x$ (Giải phương trình tích)

Bài 4. Tìm $x$, biết:

a) $x^2 - 16 = 0$

b) $(2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0$

c) $x^3 - 4x = 0$

d) $x(x - 5) - 2x + 10 = 0$

Dạng 4: Tính nhanh giá trị biểu thức và cực trị

Bài 5.

a) Tính nhanh: $73^2 + 27^2 + 54 \cdot 73$

b) Tính nhanh: $105^2 - 25$

c) Tính giá trị của biểu thức $M = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$ tại $x = 18$ và $y = 1$.

Bài 6 (Vận dụng cao).

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = x^2 - 6x + 14$.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $B = 5 - 4x - x^2$.

c) Cho $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

Phần 3. Hướng dẫn giải chi tiết

Đáp án trắc nghiệm

• Câu 1: B ($(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$).
• Câu 2: A (Dạng tổng hai lập phương: $(x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$).
• Câu 3: C (Bình phương thiếu của tổng hai số $A$ và $B$ là $A^2 + AB + B^2$, ở đây là $x^2 + 3x + 9$).
• Câu 4: D ($x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$).
• Câu 5: A ($P = (x - 1)^3 = (101 - 1)^3 = 100^3 = 1\,000\,000$).

Hướng dẫn tự luận

Bài 1.

a) Dùng hiệu hai bình phương:

$A = [(2x + 1) - (2x - 1)][(2x + 1) + (2x - 1)] = (2)(4x) = 8x$.

b) Khai triển lập phương:

$B = (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) + 12x^2 = -12x^2 - 16 + 12x^2 = -16$.

c) Nhận biết hiệu và tổng hai lập phương:

$C = (x^3 - 1) - (x^3 + 1) = x^3 - 1 - x^3 - 1 = -2$.

Bài 2.

Khai triển và thu gọn:

$P = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 8) + (3x^2 - 3x)$

$P = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 8 + 3x^2 - 3x = -9$.

Vì kết quả là hằng số $-9$, giá trị của $P$ không phụ thuộc vào $x$.

Bài 3.

a) $3x(y - 1)(x - 2)$.

b) $(x - 3)(x + 3) + (x - 3)^2 = (x - 3)[(x + 3) + (x - 3)] = (x - 3)(2x) = 2x(x - 3)$.

c) $(x - y)^2 - 5^2 = (x - y - 5)(x - y + 5)$.

d) $x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2$.

e) Tách $-7x = -3x - 4x$: $x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x - 4)$.

Bài 4.

a) $(x - 4)(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = -4$.

b) $[(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = 0 \Leftrightarrow (x - 4)(3x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = -\frac{2}{3}$.

c) $x(x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow x(x - 2)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x \in \{0; 2; -2\}$.

d) $x(x - 5) - 2(x - 5) = 0 \Leftrightarrow (x - 5)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = 2$.

Bài 5.

a) $73^2 + 2 \cdot 73 \cdot 27 + 27^2 = (73 + 27)^2 = 100^2 = 10\,000$.

b) $105^2 - 5^2 = (105 - 5)(105 + 5) = 100 \cdot 110 = 11\,000$.

c) $M = (x + 2y)^3$. Với $x = 18; y = 1 \Rightarrow M = (18 + 2 \cdot 1)^3 = 20^3 = 8\,000$.

Bài 6.

a) $A = (x^2 - 6x + 9) + 5 = (x - 3)^2 + 5 \ge 5$. Giá trị nhỏ nhất là $5$ khi $x = 3$.

b) $B = -(x^2 + 4x - 5) = -(x^2 + 4x + 4) + 9 = -(x + 2)^2 + 9 \le 9$. Giá trị lớn nhất là $9$ khi $x = -2$.

c) Từ $a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = -c$.

Lập phương hai vế:

$(a + b)^3 = (-c)^3 \Leftrightarrow a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = -c^3$

Thay $a + b = -c$ vào:

$a^3 + b^3 + 3ab(-c) = -c^3 \Leftrightarrow a^3 + b^3 - 3abc = -c^3 \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ (đpcm).