Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác - lớp 8

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Tỉ số của hai đoạn thẳng:

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. Tỉ số của hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ được kí hiệu là $\frac{AB}{CD}$.

(Lưu ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo).

Đoạn thẳng tỉ lệ:

Hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng $A'B'$ và $C'D'$ nếu có tỉ thức:

$$\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'} \quad \text{hay} \quad \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'}$$

2. Định lí Thalès trong tam giác (Định lí thuận)

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cho tam giác $ABC$, đường thẳng $d \parallel BC$ cắt $AB$ tại $B'$ và cắt $AC$ tại $C'$. Ta có các hệ thức tương ứng:

$$\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC}; \qquad \frac{AB'}{B'B} = \frac{AC'}{C'C}; \qquad \frac{B'B}{AB} = \frac{C'C}{AC}$$

3. Định lí Thalès đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Cho tam giác $ABC$ và điểm $B' \in AB$, $C' \in AC$.

Nếu thỏa mãn một trong các tỉ thức:

$$\frac{AB'}{B'B} = \frac{AC'}{C'C} \quad \text{hoặc} \quad \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} \quad \text{hoặc} \quad \frac{B'B}{AB} = \frac{C'C}{AC}$$

thì ta kết luận:

$$B'C' \parallel BC$$

Ý nghĩa thực tiễn: Định lí Thalès đảo là một công cụ hình học để chứng minh hai đường thẳng song song.

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính độ dài đoạn thẳng bằng định lí Thalès

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\text{ cm}$. Điểm $D$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $AD = 3\text{ cm}$. Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt $AC$ tại $E$. Biết $AC = 12\text{ cm}$, tính độ dài các đoạn thẳng $AE$ và $EC$.

Lời giải:

Vì $DE \parallel BC$, áp dụng định lí Thalès trong $\triangle ABC$:

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$

Thay số:

$$\frac{3}{9} = \frac{AE}{12} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{AE}{12} \Rightarrow AE = \frac{12 \cdot 1}{3} = 4\text{ cm}$$

Độ dài đoạn thẳng $EC$ là:

$$EC = AC - AE = 12 - 4 = 8\text{ cm}$$

Ví dụ 2: Chứng minh song song bằng định lí Thalès đảo

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = 4\text{ cm}, MB = 6\text{ cm}$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AN = 6\text{ cm}, NC = 9\text{ cm}$. Chứng minh rằng $MN \parallel BC$.

Lời giải:

Xét hai tỉ số trên hai cạnh $AB$ và $AC$:

$$\frac{AM}{MB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{AN}{NC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Nhận thấy $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \left(= \frac{2}{3}\right)$.

Theo định lí Thalès đảo trong $\triangle ABC$, đường thẳng $MN$ cắt hai cạnh $AB, AC$ và định ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên $MN \parallel BC$.

Ví dụ 3: Bài toán mở rộng trong hình thang

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt hai cạnh bên $AD$ và $BC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:

$$\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}$$

Lời giải:

Nối đường chéo $AC$, cắt đoạn thẳng $MN$ tại điểm $I$.

• Xét $\triangle ADC$ có $MI \parallel CD$ (vì $MN \parallel CD$), áp dụng định lí Thalès:

  $$\frac{AM}{MD} = \frac{AI}{IC} \quad (1)$$

• Xét $\triangle ABC$ có $IN \parallel AB$ (vì $MN \parallel AB$), áp dụng định lí Thalès:

  $$\frac{AI}{IC} = \frac{BN}{NC} \quad (2)$$

  Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra:

  $$\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}$$