Ôn tập Chương 4: Định lí Thalès trong tam giác - lớp 8

Phần 1. Trắc nghiệm khách quan

Câu 1. Cho tam giác $ABC$, một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB$ tại $D$ và cắt $AC$ tại $E$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

B. $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

C. $\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}$

D. $\frac{AD}{EC} = \frac{AE}{DB}$

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AC$. Biết $BC = 14\text{ cm}$, độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng:

A. $7\text{ cm}$

B. $14\text{ cm}$

C. $28\text{ cm}$

D. $3,5\text{ cm}$

Câu 3. Cho $\triangle MNP$ có tia phân giác của góc $M$ cắt cạnh $NP$ tại điểm $D$. Tỉ số nào sau đây đúng?

A. $\frac{DN}{DP} = \frac{MP}{MN}$

B. $\frac{DN}{DP} = \frac{MN}{MP}$

C. $\frac{DN}{MN} = \frac{MP}{DP}$

D. $\frac{DP}{DN} = \frac{MN}{MP}$

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6\text{ cm}, AC = 9\text{ cm}$. Trên $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = 2\text{ cm}$, trên $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AN = 3\text{ cm}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $MN \perp BC$

B. $MN \parallel BC$

C. $MN = \frac{1}{2}BC$

D. $MN$ cắt $BC$ tại trung điểm $BC$

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ có $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ ($D \in BC$). Biết $AB = 4\text{ cm}, AC = 6\text{ cm}$ và $BD = 3\text{ cm}$. Độ dài đoạn thẳng $DC$ bằng:

A. $2\text{ cm}$

B. $4\text{ cm}$

C. $4,5\text{ cm}$

D. $5\text{ cm}$

Phần 2. Tự luận rèn luyện kĩ năng

Dạng 1: Vận dụng Định lí Thalès (thuận và đảo)

Bài 1. Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên $AD$ tại $M$ và cắt cạnh bên $BC$ tại $N$.

a) Biết $AM = 4\text{ cm}, MD = 6\text{ cm}, BN = 5\text{ cm}$. Tính độ dài đoạn thẳng $NC$ và $BC$.

b) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $AD$ tại $E$ và cắt $BC$ tại $F$. Chứng minh rằng $OE = OF$.

Dạng 2: Tính toán và chứng minh bằng Đường trung bình

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$.

a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang.

b) Trên tia đối của tia $NM$ lấy điểm $K$ sao cho $NK = NM$. Chứng minh tứ giác $AMCK$ là hình bình hành.

c) Tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $AMCK$ là hình chữ nhật? Là hình thoi?

Bài 3. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai đường chéo $AC, BD$. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng $EG, FH$ và $MN$ đồng quy tại một điểm.

Dạng 3: Vận dụng Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 9\text{ cm}, AC = 12\text{ cm}$. Đường phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt cạnh huyền $BC$ tại $D$.

a) Tính độ dài cạnh huyền $BC$, đoạn thẳng $DB$ và $DC$.

b) Từ $D$ kẻ $DH \perp AB$ ($H \in AB$) và $DK \perp AC$ ($K \in AC$). Tứ giác $AHDK$ là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác $AHDK$.

Bài 5 (Vận dụng cao). Cho tam giác $ABC$ có ba đường phân giác $AD, BE, CF$ lần lượt cắt các cạnh đối diện tại $D, E, F$. Chứng minh rằng:

$$\frac{DB}{DC} \cdot \frac{EC}{EA} \cdot \frac{FA}{FB} = 1$$

Phần 3. Hướng dẫn giải chi tiết

Đáp án trắc nghiệm

• Câu 1: D (Theo định lí Thalès, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow AD \cdot EC = AE \cdot DB \Rightarrow \frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC}$, do đó biểu thức D sai).
• Câu 2: A ($MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7\text{ cm}$).
• Câu 3: B (Định lí đường phân giác: $\frac{DN}{DP} = \frac{MN}{MP}$).
• Câu 4: B (Ta có $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ và $\frac{AN}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Vì $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ nên $MN \parallel BC$ theo định lí Thalès đảo).
• Câu 5: C ($\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{3}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow DC = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5\text{ cm}$).

Hướng dẫn tự luận

Bài 1.

a) Nối $AC$ cắt $MN$ tại $I$.

• Trong $\triangle ADC$ có $MI \parallel CD \Rightarrow \frac{AM}{MD} = \frac{AI}{IC}$.
• Trong $\triangle ABC$ có $IN \parallel AB \Rightarrow \frac{AI}{IC} = \frac{BN}{NC}$.

Suy ra $\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{5}{NC} \Rightarrow NC = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7,5\text{ cm}$.

Độ dài $BC = BN + NC = 5 + 7,5 = 12,5\text{ cm}$.

b) Xét $\triangle ADC$ có $OE \parallel CD \Rightarrow \frac{OE}{CD} = \frac{AO}{AC}$ (hệ quả Thalès).

Xét $\triangle BDC$ có $OF \parallel CD \Rightarrow \frac{OF}{CD} = \frac{BF}{BC} = \frac{BO}{BD}$.

Trong hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$), theo định lí Thalès ta có $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} \Rightarrow \frac{AO}{AC} = \frac{BO}{BD}$.

Từ đó suy ra $\frac{OE}{CD} = \frac{OF}{CD} \Rightarrow OE = OF$.

Bài 2.

a) $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

Suy ra $MN \parallel BC$. Tứ giác $BMNC$ có $MN \parallel BC$ nên là hình thang.

b) Tứ giác $AMCK$ có hai đường chéo $AC$ và $MK$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường ($NA = NC$ và $NM = NK$) nên $AMCK$ là hình bình hành.

c)

• Hình bình hành $AMCK$ là hình chữ nhật $\Leftrightarrow \widehat{AMC} = 90^\circ \Leftrightarrow CM \perp AB$. Vì $CM$ là trung tuyến, nên tam giác $ABC$ phải cân tại $C$.
• Hình bình hành $AMCK$ là hình thoi $\Leftrightarrow AC \perp MK \Leftrightarrow AC \perp MN$. Vì $MN \parallel BC$ nên $AC \perp BC$, tức tam giác $ABC$ phải vuông tại $C$.

Bài 3.

• Nối $AC$. Trong $\triangle ABC$, $EF$ là đường trung bình $\Rightarrow EF \parallel AC$ và $EF = \frac{1}{2}AC$.
• Trong $\triangle ADC$, $HG$ là đường trung bình $\Rightarrow HG \parallel AC$ và $HG = \frac{1}{2}AC$.
  • Suy ra tứ giác $EFGH$ là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo $EG$ và $FH$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường (1).
• Xét $\triangle CAB$, $M$ là trung điểm của $AC$, $E$ là trung điểm của $AB \Rightarrow ME$ là đường trung bình $\Rightarrow ME \parallel BC$ và $ME = \frac{1}{2}BC$.
• Xét $\triangle DBC$, $N$ là trung điểm của $BD$, $G$ là trung điểm của $CD \Rightarrow NG$ là đường trung bình $\Rightarrow NG \parallel BC$ và $NG = \frac{1}{2}BC$.

Suy ra tứ giác $EMGN$ là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo $EG$ và $MN$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2).

Từ (1) và (2) suy ra ba đoạn thẳng $EG, FH, MN$ cùng cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đoạn (đồng quy).

Bài 4.

a) Áp dụng định lí Pythagore vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$

Vì $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ nên:

$$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{DB}{3} = \frac{DC}{4} = \frac{DB + DC}{3 + 4} = \frac{15}{7}$$

Suy ra:

$$DB = 3 \cdot \frac{15}{7} = \frac{45}{7}\text{ cm}; \quad DC = 4 \cdot \frac{15}{7} = \frac{60}{7}\text{ cm}$$

b) Xét tứ giác $AHDK$ có $\widehat{A} = \widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ$ nên $AHDK$ là hình chữ nhật.

Lại có đường chéo $AD$ là tia phân giác của góc $A$, do đó $AHDK$ là hình vuông.

Tam giác $\triangle DHC$ vuông tại $H$ và có $DH \parallel AC$ ($DH \perp AB$ và $AC \perp AB$), theo hệ quả Thalès:

$$\frac{DH}{AC} = \frac{BD}{BC} \Rightarrow \frac{DH}{12} = \frac{\frac{45}{7}}{15} = \frac{3}{7} \Rightarrow DH = \frac{36}{7}\text{ cm}$$

• Chu vi hình vuông $AHDK$: $C = 4 \cdot DH = 4 \cdot \frac{36}{7} = \frac{144}{7}\text{ cm}$.
• Diện tích hình vuông $AHDK$: $S = DH^2 = \left(\frac{36}{7}\right)^2 = \frac{1296}{49}\text{ cm}^2$.

Bài 5.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ba góc của $\triangle ABC$:

• Tia phân giác $AD$ của góc $A$: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$
• Tia phân giác $BE$ của góc $B$: $\frac{EC}{EA} = \frac{BC}{AB}$
• Tia phân giác $CF$ của góc $C$: $\frac{FA}{FB} = \frac{AC}{BC}$

Nhân từng vế của ba đẳng thức trên:

$$\frac{DB}{DC} \cdot \frac{EC}{EA} \cdot \frac{FA}{FB} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{BC}{AB} \cdot \frac{AC}{BC} = 1 \quad (\text{đpcm})$$