Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức - lớp 8

1. Quy tắc cộng hai đa thức

Muốn cộng hai đa thức $A$ và $B$, ta làm như sau:

1. Đặt hai đa thức trong dấu ngoặc: $A + B = (A) + (B)$.

2. Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên dấu của các hạng tử bên trong).

3. Nhóm các hạng tử đồng dạng bằng dấu ngoặc và đặt dấu cộng $(+)$ trước mỗi nhóm.

4. Cộng các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm để đưa về dạng thu gọn.

Ví dụ: Cho $A = 3x^2 - xy + 2$ và $B = x^2 + 4xy - 5$.

$$\begin{aligned} A + B &= (3x^2 - xy + 2) + (x^2 + 4xy - 5) \\ &= (3x^2 + x^2) + (-xy + 4xy) + (2 - 5) \\ &= 4x^2 + 3xy - 3 \end{aligned}$$

2. Quy tắc trừ hai đa thức

Muốn trừ đa thức $A$ cho đa thức $B$, ta làm như sau:

1. Đặt hai đa thức trong dấu ngoặc: $A - B = (A) - (B)$.

2. Bỏ dấu ngoặc: Đổi dấu tất cả các hạng tử nằm trong dấu ngoặc có dấu trừ đứng trước ($+$ đổi thành $-$, $-$ đổi thành $+$).

3. Nhóm các hạng tử đồng dạng và cộng/trừ các đơn thức đồng dạng để thu gọn kết quả.

Ví dụ: Với $A = 3x^2 - xy + 2$ và $B = x^2 + 4xy - 5$.

$$\begin{aligned} A - B &= (3x^2 - xy + 2) - (x^2 + 4xy - 5) \\ &= 3x^2 - xy + 2 - x^2 - 4xy + 5 \\ &= (3x^2 - x^2) + (-xy - 4xy) + (2 + 5) \\ &= 2x^2 - 5xy + 7 \end{aligned}$$

3. Tính chất của phép cộng đa thức

Tương tự phép cộng các số thực, phép cộng đa thức có các tính chất:

• Giao hoán: $A + B = B + A$

• Kết hợp: $(A + B) + C = A + (B + C)$

• Cộng với đa thức 0: $A + 0 = 0 + A = A$

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính tổng và hiệu của hai đa thức

Đề bài: Cho hai đa thức:

$$M = 5x^2y - 2xy^2 + 3x - 1$$

$$N = -3x^2y + 4xy^2 - 2x + 6$$

Tính $M + N$ và $M - N$.

Lời giải:

Tính $M + N$:

$$\begin{aligned} M + N &= (5x^2y - 2xy^2 + 3x - 1) + (-3x^2y + 4xy^2 - 2x + 6) \\ &= [5x^2y + (-3x^2y)] + (-2xy^2 + 4xy^2) + [3x + (-2x)] + (-1 + 6) \\ &= 2x^2y + 2xy^2 + x + 5 \end{aligned}$$

Tính $M - N$:

$$\begin{aligned} M - N &= (5x^2y - 2xy^2 + 3x - 1) - (-3x^2y + 4xy^2 - 2x + 6) \\ &= 5x^2y - 2xy^2 + 3x - 1 + 3x^2y - 4xy^2 + 2x - 6 \\ &= (5x^2y + 3x^2y) + (-2xy^2 - 4xy^2) + (3x + 2x) + (-1 - 6) \\ &= 8x^2y - 6xy^2 + 5x - 7 \end{aligned}$$

Ví dụ 2: Tìm đa thức chưa biết

Đề bài: Tìm đa thức $P$ biết:

$$P + (2x^2 - xy + 3y^2) = 5x^2 + 2xy - y^2$$

Lời giải:

Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết:

$$\begin{aligned} P &= (5x^2 + 2xy - y^2) - (2x^2 - xy + 3y^2) \\ &= 5x^2 + 2xy - y^2 - 2x^2 + xy - 3y^2 \\ &= (5x^2 - 2x^2) + (2xy + xy) + (-y^2 - 3y^2) \\ &= 3x^2 + 3xy - 4y^2 \end{aligned}$$

Ví dụ 3: Thu gọn rồi tính giá trị biểu thức

Đề bài: Cho hai đa thức:

$$A = 4x^3 - 2x^2y + 3xy^2 - 5$$

$$B = 3x^3 + 2x^2y - 3xy^2 + 7$$

Tính giá trị của đa thức $C = A + B$ khi $x = 1$ và $y = 2026$.

Lời giải:

Bước 1: Thu gọn biểu thức $C = A + B$:

$$\begin{aligned} C &= (4x^3 - 2x^2y + 3xy^2 - 5) + (3x^3 + 2x^2y - 3xy^2 + 7) \\ &= (4x^3 + 3x^3) + (-2x^2y + 2x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (-5 + 7) \\ &= 7x^3 + 2 \end{aligned}$$

(Nhận xét: Đa thức sau khi thu gọn đã triệt tiêu biến $y$, giúp việc tính toán đơn giản hơn rất nhiều).

Bước 2: Thay $x = 1$ vào $C$:

$$C = 7 \cdot 1^3 + 2 = 7 \cdot 1 + 2 = 9$$