Bài 12: Hình bình hành - lớp 8

1. Định nghĩa hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi:

$$\begin{cases} AB \parallel CD \\ AD \parallel BC \end{cases}$$

2. Tính chất của hình bình hành

Trong một hình bình hành:

1. Về cạnh: Các cạnh đối bằng nhau ($AB = CD$ và $AD = BC$).
2. Về góc: Các góc đối bằng nhau ($\widehat{A} = \widehat{C}$ và $\widehat{B} = \widehat{D}$). Hai góc kề một cạnh bù nhau ($\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ$).
3. Về đường chéo: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
4. Tâm đối xứng: Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành.

3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, ta sử dụng 1 trong 5 dấu hiệu sau:

1. Dấu hiệu 1 (Theo định nghĩa): Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
2. Dấu hiệu 2 (Theo cạnh đối): Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
3. Dấu hiệu 3 (Cặp cạnh đối đặc biệt): Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
4. Dấu hiệu 4 (Theo góc đối): Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
5. Dấu hiệu 5 (Theo đường chéo): Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính góc của hình bình hành

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat{A} = 3\widehat{B}$. Tính số đo các góc của hình bình hành đó.

Lời giải:

Trong hình bình hành $ABCD$, hai góc kề một cạnh bù nhau:

$$\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ$$

Thay $\widehat{A} = 3\widehat{B}$ vào:

$$3\widehat{B} + \widehat{B} = 180^\circ \Rightarrow 4\widehat{B} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{B} = 45^\circ$$

Suy ra: $\widehat{A} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Theo tính chất góc đối của hình bình hành:

$$\widehat{C} = \widehat{A} = 135^\circ, \quad \widehat{D} = \widehat{B} = 45^\circ$$

Vậy $\widehat{A} = \widehat{C} = 135^\circ$ và $\widehat{B} = \widehat{D} = 45^\circ$.

Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành (Dấu hiệu một cặp cạnh đối)

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$, $N$ là trung điểm của cạnh $CD$. Chứng minh tứ giác $AMCN$ là hình bình hành.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên:

• $AB \parallel CD \Rightarrow AM \parallel CN$

• $AB = CD$

  Mặt khác, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $CD$, nên:

  $$AM = \frac{1}{2}AB; \quad CN = \frac{1}{2}CD$$

  Suy ra $AM = CN$.

  Tứ giác $AMCN$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ($AM \parallel CN$ và $AM = CN$), do đó $AMCN$ là hình bình hành.

Ví dụ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng nhờ tính chất đường chéo

Đề bài: Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$ (giao điểm của $AC$ và $BD$). Một đường thẳng đi qua $O$ cắt cạnh $AB$ tại $P$ và cắt cạnh $CD$ tại $Q$. Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$, suy ra $\widehat{OAP} = \widehat{OCQ}$ (hai góc so le trong).

Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo nên $OA = OC$.

Xét $\triangle OAP$ và $\triangle OCQ$ có:

• $\widehat{OAP} = \widehat{OCQ}$ (so le trong)

• $OA = OC$

• $\widehat{AOP} = \widehat{COQ}$ (hai góc đối đỉnh)

  Suy ra $\triangle OAP = \triangle OCQ$ (g-c-g).

  Do đó $OP = OQ$ (hai cạnh tương ứng).

  Vì $P, O, Q$ thẳng hàng và $OP = OQ$, nên $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$.