Bài 4: Phép nhân đa thức - lớp 8

1. Nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Công thức:

$$A(B + C) = A \cdot B + A \cdot C$$

(trong đó $A, B, C$ là các đơn thức hoặc biểu thức đại số)

Ví dụ: Thực hiện phép tính: $2xy(3x^2 - xy + 4)$

$$\begin{aligned} 2xy(3x^2 - xy + 4) &= 2xy \cdot 3x^2 + 2xy \cdot (-xy) + 2xy \cdot 4 \\ &= 6x^3y - 2x^2y^2 + 8xy \end{aligned}$$

2. Nhân đa thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Công thức:

$$(A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = A \cdot C + A \cdot D + B \cdot C + B \cdot D$$

Chú ý: Sau khi thực hiện phép nhân, luôn kiểm tra và cộng, trừ các hạng tử đồng dạng để đưa kết quả về dạng đa thức thu gọn.

Ví dụ: Thực hiện phép tính: $(x - 2y)(2x + y)$

$$\begin{aligned} (x - 2y)(2x + y) &= x \cdot 2x + x \cdot y + (-2y) \cdot 2x + (-2y) \cdot y \\ &= 2x^2 + xy - 4xy - 2y^2 \\ &= 2x^2 - 3xy - 2y^2 \end{aligned}$$

3. Tính chất của phép nhân đa thức

Tương tự phép nhân số thực, phép nhân các đa thức thỏa mãn:

• Giao hoán: $A \cdot B = B \cdot A$

• Kết hợp: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$

• Phân phối đối với phép cộng: $A(B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Nhân đơn thức với đa thức

Đề bài: Thực hiện phép tính:

$$A = -\frac{1}{2}xy^2 \left(4x^2y - 6xy + 2\right)$$

Lời giải:

Nhân $-\frac{1}{2}xy^2$ với từng hạng tử trong ngoặc:

$$\begin{aligned} A &= \left(-\frac{1}{2}xy^2\right) \cdot \left(4x^2y\right) + \left(-\frac{1}{2}xy^2\right) \cdot (-6xy) + \left(-\frac{1}{2}xy^2\right) \cdot 2 \\ &= \left[-\frac{1}{2} \cdot 4\right] (x \cdot x^2)(y^2 \cdot y) + \left[-\frac{1}{2} \cdot (-6)\right] (x \cdot x)(y^2 \cdot y) + \left[-\frac{1}{2} \cdot 2\right] xy^2 \\ &= -2x^3y^3 + 3x^2y^3 - xy^2 \end{aligned}$$

Ví dụ 2: Nhân đa thức với đa thức và thu gọn

Đề bài: Thực hiện phép nhân rồi thu gọn:

$$B = (2x - 3)(x^2 - 2x + 1)$$

Lời giải:

$$\begin{aligned} B &= 2x \cdot (x^2 - 2x + 1) - 3 \cdot (x^2 - 2x + 1) \\ &= \left(2x^3 - 4x^2 + 2x\right) - \left(3x^2 - 6x + 3\right) \\ &= 2x^3 - 4x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 3 \\ &= 2x^3 + (-4x^2 - 3x^2) + (2x + 6x) - 3 \\ &= 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 \end{aligned}$$

Ví dụ 3: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến

Đề bài: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$:

$$P = (x - 2)(x + 3) - x(x + 1) + 6$$

Lời giải:

Khai triển các tích:

$$\begin{aligned} P &= \left(x^2 + 3x - 2x - 6\right) - \left(x^2 + x\right) + 6 \\ &= x^2 + x - 6 - x^2 - x + 6 \\ &= (x^2 - x^2) + (x - x) + (-6 + 6) \\ &= 0 \end{aligned}$$

Vì kết quả luôn bằng $0$ với mọi giá trị của $x$, nên giá trị của biểu thức $P$ không phụ thuộc vào biến $x$.

Ví dụ 4: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

Đề bài: Cho biểu thức $M = (2x + y)(x - 2y) - 2x(x - y)$. Tính giá trị của $M$ tại $x = 10$ và $y = -\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn biểu thức $M$:

$$\begin{aligned} M &= \left(2x^2 - 4xy + xy - 2y^2\right) - \left(2x^2 - 2xy\right) \\ &= 2x^2 - 3xy - 2y^2 - 2x^2 + 2xy \\ &= (2x^2 - 2x^2) + (-3xy + 2xy) - 2y^2 \\ &= -xy - 2y^2 \end{aligned}$$

Bước 2: Thay $x = 10$ và $y = -\frac{1}{2}$ vào biểu thức đã thu gọn:

$$\begin{aligned} M &= -(10) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= 5 - 2 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \end{aligned}$$