Bài 10: Tứ giác - lớp 8

1. Khái niệm tứ giác, tứ giác lồi

Định nghĩa tứ giác: Tứ giác $ABCD$ là hình gồm bốn đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

• Tên gọi tứ giác được đọc theo thứ tự liền nhau của các đỉnh, ví dụ: $ABCD, BCDA, ADCB,\dots$
• Các điểm $A, B, C, D$ gọi là các đỉnh.
• Các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$ gọi là các cạnh.
• Hai đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau $AC$ và $BD$ gọi là hai đường chéo.

Tứ giác lồi: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Quy ước: Khi nói đến tứ giác mà không giải thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

2. Tổng các góc của một tứ giác

Định lí:Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ$.

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$$

Chứng minh ngắn gọn: Nối đường chéo $AC$, chia tứ giác $ABCD$ thành hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$.

• Xét $\triangle ABC$: $\widehat{A_1} + \widehat{B} + \widehat{C_1} = 180^\circ$
• Xét $\triangle ADC$: $\widehat{A_2} + \widehat{D} + \widehat{C_2} = 180^\circ$

Cộng từng vế hai đẳng thức:

$$(\widehat{A_1} + \widehat{A_2}) + \widehat{B} + (\widehat{C_1} + \widehat{C_2}) + \widehat{D} = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$$

Hay $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$.

Nhận xét về góc ngoài: Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác đó. Tổng 4 góc ngoài (mỗi đỉnh lấy 1 góc ngoài) của một tứ giác lồi luôn bằng $360^\circ$.

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính góc chưa biết của tứ giác

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 70^\circ$, $\widehat{B} = 110^\circ$, $\widehat{C} = 80^\circ$. Tính số đo góc $D$.

Lời giải:

Áp dụng định lí tổng các góc trong tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$$

Thay số:

$$70^\circ + 110^\circ + 80^\circ + \widehat{D} = 360^\circ$$

$$260^\circ + \widehat{D} = 360^\circ \Rightarrow \widehat{D} = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$$

Vậy $\widehat{D} = 100^\circ$.

Ví dụ 2: Tìm các góc theo tỉ lệ

Đề bài: Tìm các góc của tứ giác $ABCD$ biết số đo các góc $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}, \widehat{D}$ tỉ lệ với $1 : 2 : 3 : 4$.

Lời giải:

Theo bài ra ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{\widehat{A}}{1} = \frac{\widehat{B}}{2} = \frac{\widehat{C}}{3} = \frac{\widehat{D}}{4}$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và định lí tổng 4 góc của tứ giác:

$$\frac{\widehat{A}}{1} = \frac{\widehat{B}}{2} = \frac{\widehat{C}}{3} = \frac{\widehat{D}}{4} = \frac{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D}}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$$

Suy ra:

• $\widehat{A} = 36^\circ \cdot 1 = 36^\circ$

• $\widehat{B} = 36^\circ \cdot 2 = 72^\circ$

• $\widehat{C} = 36^\circ \cdot 3 = 108^\circ$

• $\widehat{D} = 36^\circ \cdot 4 = 144^\circ$

Ví dụ 3: Bài toán liên quan đến tia phân giác

Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{C} = 70^\circ$, $\widehat{D} = 50^\circ$. Các tia phân giác của góc $A$ và góc $B$ cắt nhau tại điểm $I$. Tính số đo góc $\widehat{AIB}$.

Lời giải:

Xét tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} = 360^\circ - (\widehat{C} + \widehat{D}) = 360^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 240^\circ$$

Vì tia $AI$ là phân giác của $\widehat{A}$ và tia $BI$ là phân giác của $\widehat{B}$, nên:

$$\widehat{IAB} = \frac{\widehat{A}}{2}; \quad \widehat{IBA} = \frac{\widehat{B}}{2}$$

Suy ra trong tam giác $\triangle IAB$:

$$\widehat{IAB} + \widehat{IBA} = \frac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2} = \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ$$

Tổng ba góc trong tam giác $\triangle IAB$ bằng $180^\circ$:

$$\widehat{AIB} = 180^\circ - (\widehat{IAB} + \widehat{IBA}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Vậy $\widehat{AIB} = 60^\circ$.

Ví dụ 4: Vận dụng thực tế

Đề bài: Một chiếc diều cổ điển có dạng tứ giác lồi $ABCD$ với hai cạnh bên bằng nhau $AB = AD$ và $CB = CD$. Biết góc ở đỉnh trên $\widehat{A} = 100^\circ$ và góc ở đuôi diều $\widehat{C} = 40^\circ$. Tính số đo hai góc bên sườn $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$.

Lời giải:

Nối $AC$, ta có $\triangle ABC = \triangle ADC$ (c-c-c vì $AB = AD$, $CB = CD$, $AC$ là cạnh chung).

Suy ra $\widehat{B} = \widehat{D}$ (hai góc tương ứng).

Áp dụng định lí tổng các góc trong tứ giác $ABCD$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$$

$$100^\circ + 2\widehat{B} + 40^\circ = 360^\circ$$

$$2\widehat{B} = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ \Rightarrow \widehat{B} = 110^\circ$$

Vậy $\widehat{B} = \widehat{D} = 110^\circ$.