Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức - lớp 8

1. Phép chia đơn thức cho đơn thức

Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ (với $B \neq 0$) khi thỏa mãn hai điều kiện:

• Mọi biến có mặt trong $B$ đều phải có mặt trong $A$.
• Số mũ của mỗi biến trong $B$ không lớn hơn số mũ của biến đó trong $A$.

Quy tắc:

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trong trường hợp chia hết), ta làm như sau:

1. Chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B$.
2. Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$ (áp dụng công thức $x^m : x^n = x^{m - n}$ với $m \ge n$ và quy ước $x^0 = 1$).
3. Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ:

$$15x^4y^3 : 5x^2y = (15 : 5) \cdot (x^4 : x^2) \cdot (y^3 : y) = 3x^2y^2$$

2. Phép chia đa thức cho đơn thức

Đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ nếu mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$.

Quy tắc:

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả với nhau.

Công thức:

$$(A_1 + A_2 + \dots + A_n) : B = (A_1 : B) + (A_2 : B) + \dots + (A_n : B)$$

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Chia đơn thức cho đơn thức

Đề bài: Thực hiện các phép chia:

a) $12x^3y^2 : (-4xy^2)$

b) $\left(-\frac{2}{3}x^5y^3z\right) : \left(\frac{1}{2}x^3yz\right)$

Lời giải:

a) $12x^3y^2 : (-4xy^2) = [12 : (-4)] \cdot (x^3 : x) \cdot (y^2 : y^2) = -3x^2 \cdot 1 = -3x^2$

b) $\left(-\frac{2}{3}x^5y^3z\right) : \left(\frac{1}{2}x^3yz\right) = \left[-\frac{2}{3} : \frac{1}{2}\right] \cdot (x^5 : x^3) \cdot (y^3 : y) \cdot (z : z) = -\frac{4}{3}x^2y^2$

Ví dụ 2: Chia đa thức cho đơn thức

Đề bài: Thực hiện phép tính:

$$P = \left(20x^4y^3 - 25x^3y^2 + 5x^2y\right) : 5x^2y$$

Lời giải:

Chia từng hạng tử của đa thức cho $5x^2y$:

$$\begin{aligned} P &= (20x^4y^3 : 5x^2y) + (-25x^3y^2 : 5x^2y) + (5x^2y : 5x^2y) \\ &= 4x^2y^2 - 5xy + 1 \end{aligned}$$

Ví dụ 3: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

Đề bài: Cho biểu thức:

$$M = \left(6x^3y^2 - 9x^2y^3 + 15x^2y^2\right) : 3x^2y^2 - 2x$$

Tính giá trị của $M$ tại $x = 5$ và $y = -2$.

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn biểu thức $M$:

$$\begin{aligned} M &= \left[\left(6x^3y^2 : 3x^2y^2\right) - \left(9x^2y^3 : 3x^2y^2\right) + \left(15x^2y^2 : 3x^2y^2\right)\right] - 2x \\ &= (2x - 3y + 5) - 2x \\ &= 2x - 2x - 3y + 5 \\ &= -3y + 5 \end{aligned}$$

Bước 2: Thay $y = -2$ vào biểu thức đã rút gọn:

$$M = -3 \cdot (-2) + 5 = 6 + 5 = 11$$

Ví dụ 4: Tìm điều kiện chia hết (Dạng mở rộng)

Đề bài: Tìm số tự nhiên $n$ để đa thức $A = 8x^5y^n - 12x^{n+1}y^4$ chia hết cho đơn thức $B = 4x^3y^2$.

Lời giải:

Để $A$ chia hết cho $B$, từng hạng tử của $A$ phải chia hết cho $B$:

• Hạng tử $8x^5y^n$ chia hết cho $4x^3y^2$ khi $n \ge 2$.

• Hạng tử $-12x^{n+1}y^4$ chia hết cho $4x^3y^2$ khi $n + 1 \ge 3 \Leftrightarrow n \ge 2$.

  Kết hợp cả hai điều kiện, các giá trị số tự nhiên cần tìm là $n \ge 2$ ($n \in \mathbb{N}$).