Ôn tập Chương III: Tứ giác - lớp 8

1. Sơ đồ nhận biết và mối quan hệ giữa các loại tứ giác

Bảng dưới đây hệ thống hóa các nấc chuyển hóa từ tứ giác tổng quát đến các hình có tính đối xứng cao nhất:

2. Phần trắc nghiệm khách quan

Câu 1. Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 65^\circ$, $\widehat{B} = 115^\circ$, $\widehat{C} = 80^\circ$. Số đo góc $D$ bằng:

A. $90^\circ$

B. $100^\circ$

C. $110^\circ$

D. $120^\circ$

Câu 2. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau luôn là hình thang cân.

B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường là hình thoi.

C. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

D. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $AM = 5\text{ cm}$. Độ dài cạnh huyền $BC$ là:

A. $2,5\text{ cm}$

B. $5\text{ cm}$

C. $10\text{ cm}$

D. $20\text{ cm}$

Câu 4. Một hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là $6\text{ cm}$ và $8\text{ cm}$. Độ dài cạnh của hình thoi đó bằng:

A. $5\text{ cm}$

B. $7\text{ cm}$

C. $10\text{ cm}$

D. $14\text{ cm}$

Câu 5. Hình vuông có chu vi bằng $16\text{ cm}$ thì độ dài đường chéo của nó bằng:

A. $4\text{ cm}$

B. $4\sqrt{2}\text{ cm}$

C. $8\text{ cm}$

D. $2\sqrt{2}\text{ cm}$

3. Phần tự luận rèn luyện kỹ năng

Dạng 1: Tính toán góc và các yếu tố định lượng

Bài 1. Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB < CD$). Kẻ hai đường cao $AH$ và $BK$ từ hai đỉnh đáy nhỏ xuống đáy lớn $CD$.

a) Chứng minh rằng $DH = CK$.

b) Biết $AB = 6\text{ cm}$, $CD = 14\text{ cm}$ và cạnh bên $AD = 5\text{ cm}$. Tính độ dài đường cao $AH$.

Dạng 2: Chứng minh tứ giác đặc biệt và tính chất liên quan

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$), đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$. Kẻ $MD \perp AB$ tại $D$ và $ME \perp AC$ tại $E$.

a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác $BDEC$ là hình thang.

c) Lấy điểm $P$ đối xứng với $M$ qua $D$. Chứng minh tứ giác $AMBP$ là hình thoi.

Bài 3. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$.

a) Chứng minh tứ giác $AECF$ là hình bình hành.

b) Đường chéo $BD$ cắt $AF$ tại $M$ và cắt $CE$ tại $N$. Chứng minh rằng $DM = MN = NB$.

Dạng 3: Bài toán mở rộng và tìm điều kiện hình vuông

Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $N$ sao cho $BM = DN$.

a) Chứng minh $\triangle ABM = \triangle ADN$.

b) Chứng minh tam giác $AMN$ vuông cân.

c) Kẻ hình bình hành $AMKN$. Chứng minh tứ giác $AMKN$ là hình vuông.

4. Hướng dẫn giải chi tiết

Đáp án trắc nghiệm

• Câu 1: B ($\widehat{D} = 360^\circ - (65^\circ + 115^\circ + 80^\circ) = 100^\circ$).
• Câu 2: A (Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau có thể là hình bình hành, ví dụ hình bình hành có $AB \parallel CD$ và $AD = BC$).
• Câu 3: C (Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $BC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 5 = 10\text{ cm}$).
• Câu 4: A (Hai đường chéo hình thoi vuông góc tại trung điểm: nửa độ dài lần lượt là $3\text{ cm}$ và $4\text{ cm}$. Cạnh hình thoi $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ cm}$).
• Câu 5: B (Cạnh hình vuông $a = 16 : 4 = 4\text{ cm}$. Đường chéo $d = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}$).

Hướng dẫn tự luận

Bài 1.

a) Xét hai tam giác vuông $\triangle AHD$ (vuông tại $H$) và $\triangle BKC$ (vuông tại $K$):

• $AD = BC$ (hai cạnh bên hình thang cân)

• $\widehat{D} = \widehat{C}$ (hai góc kề đáy lớn)

  Suy ra $\triangle AHD = \triangle BKC$ (cạnh huyền - góc nhọn) $\Rightarrow DH = CK$.

b) Tứ giác $ABKH$ có $AB \parallel HK$ và $AH \parallel BK$ (cùng vuông góc với $CD$) nên $ABKH$ là hình bình hành. Lại có $\widehat{AHK} = 90^\circ$ nên $ABKH$ là hình chữ nhật $\Rightarrow HK = AB = 6\text{ cm}$.

Ta có: $DH + HK + CK = CD \Rightarrow 2DH + 6 = 14 \Rightarrow DH = 4\text{ cm}$.

Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle AHD$ vuông tại $H$:

$$AH = \sqrt{AD^2 - DH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\text{ cm}$$

Bài 2.

a) Xét tứ giác $ADME$ có:

• $\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)
• $\widehat{ADM} = 90^\circ$ (do $MD \perp AB$)
• $\widehat{AEM} = 90^\circ$ (do $ME \perp AC$)

Tứ giác có 3 góc vuông nên $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Ta có $MD \perp AB$ và $AC \perp AB \Rightarrow MD \parallel AC$.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $MD \parallel AC$ nên $D$ là trung điểm của $AB$ ($MD$ là đường trung bình của $\triangle ABC$).

Tương tự, $E$ là trung điểm của $AC$. Đoạn thẳng $DE$ nối trung điểm hai cạnh $AB, AC$ nên $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow DE \parallel BC$.

Tứ giác $BDEC$ có $DE \parallel BC$ nên là hình thang.

c) $P$ đối xứng với $M$ qua $D \Rightarrow D$ là trung điểm của $PM$.

Lại có $D$ là trung điểm của $AB$.

Tứ giác $AMBP$ có hai đường chéo $AB$ và $PM$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mặt khác, $PM \perp AB$ tại $D$ ($MD \perp AB$).

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi $\Rightarrow AMBP$ là hình thoi.

Bài 3.

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$.

Ta có $E \in AB, F \in CD \Rightarrow AE \parallel CF$.

Mặt khác $AE = \frac{1}{2}AB$ và $CF = \frac{1}{2}CD \Rightarrow AE = CF$.

Tứ giác $AECF$ có cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ($AE \parallel CF$ và $AE = CF$) nên $AECF$ là hình bình hành.

b) Xét $\triangle ABM$ có $E$ là trung điểm của $AB$ và $EN \parallel AM$ (vì $EC \parallel AF$).

Suy ra $EN$ là đường trung bình của $\triangle ABM \Rightarrow N$ là trung điểm của $BM$, hay $BN = NM$ (1).

Xét $\triangle CDN$ có $F$ là trung điểm của $CD$ và $FM \parallel CN$ (vì $AF \parallel CE$).

Suy ra $FM$ là đường trung bình của $\triangle CDN \Rightarrow M$ là trung điểm của $DN$, hay $DM = MN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $DM = MN = NB$.

Bài 4.

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = AD$ và $\widehat{ABM} = \widehat{ADN} = 90^\circ$ (do kề bù với góc vuông của hình vuông).

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ADN$ có:

• $AB = AD$
• $\widehat{ABM} = \widehat{ADN} = 90^\circ$
• $BM = DN$ (giả thiết)

Suy ra $\triangle ABM = \triangle ADN$ (hai cạnh góc vuông).

b) Từ $\triangle ABM = \triangle ADN$:

• $AM = AN \Rightarrow \triangle AMN$ cân tại $A$.
• $\widehat{MAB} = \widehat{NAD}$.

Ta có: $\widehat{MAN} = \widehat{MAB} + \widehat{BAD} - \widehat{NAD} = \widehat{BAD} = 90^\circ$.

Tam giác cân $\triangle AMN$ có góc ở đỉnh $\widehat{MAN} = 90^\circ$ nên là tam giác vuông cân tại $A$.

c) Hình bình hành $AMKN$ có hai cạnh kề bằng nhau $AM = AN$ (chứng minh ở câu b) nên là hình thoi.

Hình thoi $AMKN$ lại có một góc vuông $\widehat{MAN} = 90^\circ$ nên $AMKN$ là hình vuông.