Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử - lớp 8

1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng thực tế của việc phân tích:

• Rút gọn các biểu thức đại số phức tạp và phân thức.
• Giải phương trình tích (tìm $x$ khi tích bằng $0$).
• Tính nhanh giá trị của biểu thức số.

2. Phương pháp đặt nhân tử chung

Khi tất cả các hạng tử của đa thức có chung một thừa số, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc.

Công thức tổng quát:

$$A \cdot B + A \cdot C = A(B + C)$$

Cách tìm nhân tử chung:

• Hệ số: Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các hệ số nguyên dương.
• Phần biến: Chọn các biến có mặt ở tất cả các hạng tử, lấy số mũ nhỏ nhất của mỗi biến chung.

Chú ý: Nhiều bài toán cần đổi dấu các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung, áp dụng quy tắc: $A - B = -(B - A)$.

Ví dụ:

• $6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$
• $5x(x - 2) + 3(2 - x) = 5x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(5x - 3)$

3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Nhận dạng cấu trúc đa thức để áp dụng ngược 7 hằng đẳng thức đáng nhớ:

1. $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$
2. $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$
3. $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$
4. $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3$
5. $A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 = (A - B)^3$
6. $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
7. $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

Ví dụ:

• $4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$
• $x^2 - 6xy + 9y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = (x - 3y)^2$
• $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

4. Phương pháp nhóm hạng tử

Ta nhóm các hạng tử một cách thích hợp (sử dụng dấu ngoặc) nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc áp dụng được hằng đẳng thức.

Quy tắc:

• Trước dấu ngoặc có dấu cộng: giữ nguyên dấu các hạng tử bên trong.
• Trước dấu ngoặc có dấu trừ: phải đổi dấu toàn bộ các hạng tử bên trong.

Ví dụ:

• Nhóm xuất hiện nhân tử chung:

  $$x^2 - xy + 2x - 2y = (x^2 - xy) + (2x - 2y) = x(x - y) + 2(x - y) = (x - y)(x + 2)$$

• Nhóm xuất hiện hằng đẳng thức:

  $$x^2 - 4x + 4 - y^2 = (x^2 - 4x + 4) - y^2 = (x - 2)^2 - y^2 = (x - 2 - y)(x - 2 + y)$$

5. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Đề bài: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $A = 12x^2y - 18xy^2 + 6xy$

b) $B = 25 - (x - 1)^2$

c) $C = x^2 - 2xy + y^2 - 16$

d) $D = x^3 + 2x^2 - 4x - 8$

Lời giải:

a) Nhân tử chung là $6xy$:

$$A = 6xy(2x - 3y + 1)$$

b) Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 - B^2$:

$$B = 5^2 - (x - 1)^2 = [5 - (x - 1)][5 + (x - 1)] = (5 - x + 1)(5 + x - 1) = (6 - x)(x + 4)$$

c) Nhóm 3 hạng tử đầu tạo thành bình phương của một hiệu:

$$C = (x^2 - 2xy + y^2) - 16 = (x - y)^2 - 4^2 = (x - y - 4)(x - y + 4)$$

d) Nhóm từng đôi một:

$$\begin{aligned} D &= (x^3 + 2x^2) - (4x + 8) \\ &= x^2(x + 2) - 4(x + 2) \\ &= (x + 2)(x^2 - 4) \\ &= (x + 2)(x - 2)(x + 2) \\ &= (x + 2)^2(x - 2) \end{aligned}$$

Ví dụ 2: Tìm $x$ (Giải phương trình)

Đề bài: Tìm $x$, biết:

a) $2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0$

b) $(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 3) = 0$

Lời giải:

a) Phân tích vế trái thành nhân tử:

$$\begin{aligned} 2x(x - 3) + 5(x - 3) &= 0 \\ (x - 3)(2x + 5) &= 0 \end{aligned}$$

Trường hợp 1: $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Trường hợp 2: $2x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2x = -5 \Leftrightarrow x = -\frac{5}{2}$

Vậy $x \in \left\{3; -\frac{5}{2}\right\}$.

b) Đặt nhân tử chung $(x + 2)$:

$$\begin{aligned} (x + 2)[(x + 2) - (x - 3)] &= 0 \\ (x + 2)(x + 2 - x + 3) &= 0 \\ 5(x + 2) &= 0 \\ x + 2 &= 0 \Leftrightarrow x = -2 \end{aligned}$$

Vậy $x = -2$.

Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức

Đề bài: Tính nhanh giá trị của biểu thức:

$$M = x^2 - y^2 - 2y - 1 \quad \text{tại } x = 93 \text{ và } y = 6$$

Lời giải:

Nhóm các hạng tử có biến $y$:

$$\begin{aligned} M &= x^2 - (y^2 + 2y + 1) \\ &= x^2 - (y + 1)^2 \\ &= [x - (y + 1)][x + (y + 1)] \\ &= (x - y - 1)(x + y + 1) \end{aligned}$$

Thay $x = 93$ và $y = 6$ vào biểu thức tích:

$$M = (93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86 \cdot 100 = 8600$$

Ví dụ 4: Phương pháp tách hạng tử (Dạng mở rộng)

Đề bài: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $P = x^2 - 5x + 6$.

Lời giải:

Tách hạng tử $-5x = -2x - 3x$:

$$\begin{aligned} P &= x^2 - 2x - 3x + 6 \\ &= (x^2 - 2x) - (3x - 6) \\ &= x(x - 2) - 3(x - 2) \\ &= (x - 2)(x - 3) \end{aligned}$$