Bài 2: Đa thức - lớp 8

1. Đa thức là gì?

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý: Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (chỉ có một hạng tử).

Ví dụ về đa thức:

• $A = x^2 - 4xy + 3y^2$ (có 3 hạng tử là $x^2$, $-4xy$, $3y^2$)

• $B = \frac{1}{2}x^3y - 2xy + \sqrt{5}$ (có 3 hạng tử là $\frac{1}{2}x^3y$, $-2xy$, $\sqrt{5}$)

• $C = 7xy^2$ (là một đơn thức, đồng thời cũng là một đa thức)

Các biểu thức không phải đa thức:

• $\frac{x + y}{x - 1}$ (chứa biến nằm ở mẫu thức)

• $\frac{2}{x^2 + 1} + 3y$ (chứa biến ở mẫu thức)

2. Đa thức thu gọn

Đa thức thu gọn là đa thức không còn hai hạng tử nào đồng dạng.

Quy tắc thu gọn đa thức: Để thu gọn một đa thức, ta thực hiện theo 2 bước:

1. Nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau bằng cách dùng dấu ngoặc.

2. Thực hiện phép cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm.

Ví dụ: Thu gọn đa thức: $P = x^2y - 3xy + 5x^2y + 3xy - 2$

$$P = (x^2y + 5x^2y) + (-3xy + 3xy) - 2 = 6x^2y - 2$$

3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức (đối với đa thức khác đa thức 0 và đã được thu gọn) là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Quy ước:

• Một số khác 0 là đa thức có bậc 0.

• Số 0 được gọi là đa thức không có bậc.

• Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, bắt buộc phải thu gọn đa thức trước rồi mới xác định bậc.

Ví dụ: Xét đa thức đã thu gọn: $M = 3x^2y^3 - 5x^4 + 2xy - 7$

• Hạng tử $3x^2y^3$ có bậc là $2 + 3 = 5$.

• Hạng tử $-5x^4$ có bậc là $4$.

• Hạng tử $2xy$ có bậc là $1 + 1 = 2$.

• Hạng tử $-7$ có bậc là $0$.$\rightarrow$ Hạng tử có bậc cao nhất là $5$, vậy bậc của đa thức $M$ là 5.

4. Các phép toán cộng, trừ đa thức

Để cộng hay trừ hai đa thức, ta áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất giao hoán, kết hợp:

1. Đặt các đa thức vào từng cặp dấu ngoặc rồi nối với nhau bằng dấu cộng $(+)$ hoặc dấu trừ $(-)$.

2. Bỏ dấu ngoặc (nếu trước ngoặc là dấu trừ, phải đổi dấu tất cả các số hạng bên trong).

3. Nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.

5. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Thu gọn đa thức và xác định bậc

Đề bài: Thu gọn đa thức sau và tìm bậc của nó:

$$A = 5x^2y - 3xy^2 + \frac{1}{2}x^2y + 3xy^2 - 4x + 1$$

Lời giải:

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$$A = \left(5x^2y + \frac{1}{2}x^2y\right) + (-3xy^2 + 3xy^2) - 4x + 1$$

$$A = \frac{11}{2}x^2y - 4x + 1$$

• Hạng tử $\frac{11}{2}x^2y$ có bậc là $2 + 1 = 3$.

• Hạng tử $-4x$ có bậc là $1$.

• Hạng tử $1$ có bậc là $0$.

  Vậy bậc của đa thức $A$ là 3.

Ví dụ 2: Cộng và trừ hai đa thức

Đề bài: Cho hai đa thức:

$P = 2x^2 - 3xy + y^2$

$Q = x^2 + 3xy - 2y^2 + 5$

Tính $P + Q$ và $P - Q$.

Lời giải:

Tính $P + Q$:

$$P + Q = (2x^2 - 3xy + y^2) + (x^2 + 3xy - 2y^2 + 5)$$

$$P + Q = (2x^2 + x^2) + (-3xy + 3xy) + (y^2 - 2y^2) + 5$$

$$P + Q = 3x^2 - y^2 + 5$$

Tính $P - Q$:

$$P - Q = (2x^2 - 3xy + y^2) - (x^2 + 3xy - 2y^2 + 5)$$

Bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử của $Q$:

$$P - Q = 2x^2 - 3xy + y^2 - x^2 - 3xy + 2y^2 - 5$$

$$P - Q = (2x^2 - x^2) + (-3xy - 3xy) + (y^2 + 2y^2) - 5$$

$$P - Q = x^2 - 6xy + 3y^2 - 5$$

Ví dụ 3: Thu gọn và tính giá trị của đa thức

Đề bài: Cho đa thức $N = 3xy^2 - 2x^2y - 3xy^2 + 5x^2y - 1$. Tính giá trị của $N$ tại $x = -1$ và $y = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Thu gọn đa thức $N$:

$$N = (3xy^2 - 3xy^2) + (-2x^2y + 5x^2y) - 1$$

$$N = 3x^2y - 1$$

Bước 2: Thay $x = -1$ và $y = 2$ vào đa thức đã thu gọn:

$$N = 3 \cdot (-1)^2 \cdot 2 - 1 = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$$