Bài 16: Đường trung bình của tam giác - lớp 8

1. Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác đó.

• Trong một tam giác có ba đường trung bình (tương ứng với ba cặp cạnh).

• Nếu $D$ là trung điểm của $AB$ và $E$ là trung điểm của $AC$ trong $\triangle ABC$, thì đoạn thẳng $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

2. Tính chất của đường trung bình của tam giác

Định lí 1: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.

Nếu $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ (với $D \in AB, E \in AC$), ta có:

$$DE \parallel BC \quad \text{và} \quad DE = \frac{1}{2}BC$$

Định lí đảo (Định lí 2): Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Nếu $\triangle ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB$ và đường thẳng qua $D$ song song với $BC$, cắt $AC$ tại $E$, thì $E$ là trung điểm của $AC$.

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính độ dài đoạn thẳng và khoảng cách thực tế

Đề bài: Để đo khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ bị ngăn cách bởi một hồ nước, người ta chọn một điểm $A$ trên bờ sao cho có thể ngắm và đo được các đoạn $AB, AC$. Người ta xác định trung điểm $D$ của $AB$ và trung điểm $E$ của $AC$. Đo được đoạn $DE = 45\text{ m}$. Tính khoảng cách $BC$.

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$:

• $D$ là trung điểm của $AB$.
• $E$ là trung điểm của $AC$.

Do đó, đoạn thẳng $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

Theo tính chất đường trung bình:

$$DE = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2 \cdot DE = 2 \cdot 45 = 90\text{ m}$$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ qua hồ nước là $90\text{ m}$.

Ví dụ 2: Chứng minh trung điểm bằng định lí đảo

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt cạnh $AC$ tại $N$. Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt cạnh $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng:

a) $N$ là trung điểm của cạnh $AC$.

b) $BP = PC$.

Lời giải:

a) Xét $\triangle ABC$ có $M$ là trung điểm của $AB$ và $MN \parallel BC$ ($N \in AC$).

Theo định lí đảo về đường trung bình của tam giác, đường thẳng qua $M$ song song với $BC$ sẽ đi qua trung điểm cạnh $AC$.

Do đó, $N$ là trung điểm của cạnh $AC$.

b) Vì $N$ là trung điểm của $AC$ và $NP \parallel AB$ ($P \in BC$), áp dụng định lí đảo về đường trung bình cho $\triangle ABC$, ta suy ra $P$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Vậy $BP = PC$.

Ví dụ 3: Chứng minh tính chất tứ giác bằng đường trung bình (Tứ giác Varignon)

Đề bài: Cho tứ giác lồi $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Lời giải:

Nối đường chéo $AC$.

• Xét $\triangle ABC$:
  • $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).
  • Suy ra $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.
  • Do đó: $MN \parallel AC$ và $MN = \frac{1}{2}AC \quad (1)$.
• Xét $\triangle ADC$:

$Q$ là trung điểm của $AD$, $P$ là trung điểm của $CD$ (giả thiết).

Suy ra $QP$ là đường trung bình của $\triangle ADC$.

Do đó: $QP \parallel AC$ và $QP = \frac{1}{2}AC \quad (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

$$MN \parallel QP \quad \text{và} \quad MN = QP$$

Tứ giác $MNPQ$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $MNPQ$ là hình bình hành.