Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác - lớp 8

1. Định lí về tính chất đường phân giác trong tam giác

Định lí: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Cho tam giác $ABC$, tia phân giác của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D$. Khi đó ta có hệ thức:

$$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{hay} \quad \frac{DB}{AB} = \frac{DC}{AC}$$

Mở rộng (Phân giác ngoài): Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài tam giác (khi tam giác không cân tại đỉnh đó).

Nếu $D'$ là giao điểm của tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $A$ với đường thẳng $BC$ ($AB \neq AC$), ta có:

$$\frac{D'B}{D'C} = \frac{AB}{AC}$$

2. Các dạng toán trọng tâm

1. Tính độ dài đoạn thẳng: Sử dụng tỉ lệ thức từ tính chất đường phân giác kết hợp với tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ($DB + DC = BC$).
2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc song song: Vận dụng tỉ số của đường phân giác kết hợp với định lí Thalès đảo.
3. Tính tỉ số diện tích: Tỉ số diện tích hai tam giác có cùng chiều cao bằng tỉ số hai cạnh đáy tương ứng do đường phân giác tạo ra:

$$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính độ dài đoạn thẳng cơ bản

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.

Lời giải:

Vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ trong $\triangle ABC$, theo tính chất đường phân giác của tam giác:

$$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{DB}{2} = \frac{DC}{3}$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{DB}{2} = \frac{DC}{3} = \frac{DB + DC}{2 + 3} = \frac{BC}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

Suy ra:

• $DB = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}$
• $DC = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}$

Vậy $DB = 4\text{ cm}$ và $DC = 6\text{ cm}$.

Ví dụ 2: Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3\text{ cm}$, $AC = 4\text{ cm}$. Đường phân giác của góc $A$ cắt cạnh huyền $BC$ tại $D$.

a) Tính độ dài cạnh huyền $BC$.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$

b) Vì $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$, ta có:

$$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{DB}{3} = \frac{DC}{4}$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{DB}{3} = \frac{DC}{4} = \frac{DB + DC}{3 + 4} = \frac{BC}{7} = \frac{5}{7}$$

Suy ra:

• $DB = 3 \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{7}\text{ cm}$
• $DC = 4 \cdot \frac{5}{7} = \frac{20}{7}\text{ cm}$

Ví dụ 3: Chứng minh hai đường thẳng song song kết hợp định lí Thalès đảo

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $M$, đường phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh rằng $MN \parallel BC$.

Lời giải:

• Trong $\triangle ABC$, vì $BM$ là tia phân giác của $\widehat{B}$ nên:

  $$\frac{MA}{MC} = \frac{BA}{BC} \quad (1)$$

• Vì $CN$ là tia phân giác của $\widehat{C}$ nên:

  $$\frac{NA}{NB} = \frac{CA}{CB} \quad (2)$$

  Mặt khác, $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

  Do đó $\frac{BA}{BC} = \frac{CA}{CB}$.

  Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

  $$\frac{MA}{MC} = \frac{NA}{NB}$$

  Theo định lí Thalès đảo trong $\triangle ABC$, ta có $MN \parallel BC$.