Ôn tập chương 1 - lớp 8

Bộ bài tập ôn tập Chương I: Đa thức được xây dựng bám sát chuẩn kiến thức, kỹ năng sách giáo khoa Kết nối tri thức với cuộc sống (Toán 8 - Tập 1), bao gồm đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng.

Phần 1. Trắc nghiệm khách quan

Câu 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

A. $\frac{2x}{y}$

B. $3x^2y - 1$

C. $-\frac{1}{3}xy^3$

D. $\frac{x + 2}{5}$

Câu 2. Bậc của đa thức $P = 4x^2y^3 - 5x^3y^2 + 2x^4 - 4x^2y^3 + 7$ là:

A. $5$

B. $4$

C. $3$

D. $0$

Câu 3. Cho hai đơn thức $A = -2x^2y$ và $B = 5x^2y$. Tổng $A + B$ bằng:

A. $3x^2y$

B. $3x^4y^2$

C. $-7x^2y$

D. $7x^2y$

Câu 4. Kết quả của phép nhân $2xy(x^2 - 3y)$ là:

A. $2x^3y - 6xy^2$

B. $2x^2y - 6xy$

C. $2x^3y - 3xy^2$

D. $2x^2y - 3xy^2$

Câu 5. Đơn thức $12x^4y^3z$ chia hết cho đơn thức nào sau đây?

A. $3x^5y$

B. $-4x^3y^4$

C. $2x^3yz$

D. $5x^2y^2z^2$

Phần 2. Tự luận rèn luyện kỹ năng

Dạng 1: Thu gọn và xác định bậc của đa thức

Bài 1. Thu gọn các đa thức sau rồi chỉ ra phần biến, hệ số cao nhất và bậc của chúng:

a) $A = 3x^2y - 5xy + \frac{1}{2}x^2y + 5xy - 2x + 1$

b) $B = 2x^3y^2 - 4xy^3 + 7 - 2x^3y^2 + 3xy^3 - 5$

Dạng 2: Phép cộng và phép trừ đa thức

Bài 2. Cho hai đa thức:

$$M = 3x^2 - 2xy + y^2 - 5$$

$$N = -x^2 + 4xy - 2y^2 + 3$$

a) Tính $P = M + N$.

b) Tính $Q = M - N$.

c) Tìm đa thức $R$ sao cho $R + N = M$.

Dạng 3: Phép nhân và phép chia đa thức

Bài 3. Thực hiện các phép tính:

a) $2x^2y \left(3xy^2 - 4x + 1\right)$

b) $(2x - 3y)(x^2 + 2xy - y^2)$

c) $\left(15x^4y^3 - 20x^3y^2 + 25x^2y^4\right) : 5x^2y^2$

d) $\left[4(x - y)^5 + 2(x - y)^3 - 3(x - y)^2\right] : (x - y)^2$

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức và bài toán thực tế

Bài 4. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) $A = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + 8y^3$ tại $x = -2; y = 2026$.

b) $B = (12x^3y^2 - 9x^2y^3) : 3x^2y^2 - (2x - 3y)$ tại $x = 10; y = -5$.

Bài 5 (Vận dụng thực tế).

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là $2x + 3y$ (m) và chiều rộng là $2x - y$ (m).

a) Viết biểu thức đại số theo $x$ và $y$ biểu thị diện tích mảnh vườn đó.

b) Người ta bớt ra một lối đi xung quanh vườn có diện tích là $4xy - 3y^2$ (m$^2$). Tính diện tích phần đất còn lại để trồng trọt theo $x$ và $y$.

Phần 3. Hướng dẫn giải chi tiết

Đáp án trắc nghiệm

• Câu 1: C ($-\frac{1}{3}xy^3$ là tích của số và các biến; A và D chứa mẫu/phép cộng, B là đa thức).

• Câu 2: B (Thu gọn: $P = -5x^3y^2 + 2x^4 + 7$. Hạng tử $-5x^3y^2$ có bậc $3 + 2 = 5$, nhưng lưu ý: $4x^2y^3 - 4x^2y^3 = 0$. Hạng tử $-5x^3y^2$ bậc $5$, $2x^4$ bậc $4$. Bậc cao nhất là $5$ $\rightarrow$ Đáp án đúng là A; đã thu gọn triệt tiêu $x^2y^3$, còn lại $-5x^3y^2$ bậc 5).

• Câu 3: A ($(-2 + 5)x^2y = 3x^2y$).

• Câu 4: A ($2xy \cdot x^2 - 2xy \cdot 3y = 2x^3y - 6xy^2$).

• Câu 5: C (Biến $x, y, z$ trong số chia đều có số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ trong số bị chia: $3 \le 4; 1 \le 3; 1 \le 1$).

Hướng dẫn tự luận

Bài 1.

a) $A = \left(3x^2y + \frac{1}{2}x^2y\right) + (-5xy + 5xy) - 2x + 1 = \frac{7}{2}x^2y - 2x + 1$.

• Bậc của đa thức: $3$ (do hạng tử $\frac{7}{2}x^2y$ có bậc $2 + 1 = 3$).

  b) $B = (2x^3y^2 - 2x^3y^2) + (-4xy^3 + 3xy^3) + (7 - 5) = -xy^3 + 2$.

• Bậc của đa thức: $4$ (do hạng tử $-xy^3$ có bậc $1 + 3 = 4$).

Bài 2.

a) $P = M + N = (3x^2 - x^2) + (-2xy + 4xy) + (y^2 - 2y^2) + (-5 + 3) = 2x^2 + 2xy - y^2 - 2$.

b) $Q = M - N = 3x^2 - 2xy + y^2 - 5 + x^2 - 4xy + 2y^2 - 3 = 4x^2 - 6xy + 3y^2 - 8$.

c) $R = M - N = Q = 4x^2 - 6xy + 3y^2 - 8$.

Bài 3.

a) $2x^2y(3xy^2) + 2x^2y(-4x) + 2x^2y(1) = 6x^3y^3 - 8x^3y + 2x^2y$.

b) $2x(x^2 + 2xy - y^2) - 3y(x^2 + 2xy - y^2) = 2x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - 3x^2y - 6xy^2 + 3y^3 = 2x^3 + x^2y - 8xy^2 + 3y^3$.

c) $\frac{15x^4y^3}{5x^2y^2} - \frac{20x^3y^2}{5x^2y^2} + \frac{25x^2y^4}{5x^2y^2} = 3x^2y - 4x + 5y^2$.

d) Đặt $t = x - y$, ta có $(4t^5 + 2t^3 - 3t^2) : t^2 = 4t^3 + 2t - 3 = 4(x - y)^3 + 2(x - y) - 3$.

Bài 4.

a) Khai triển tích:

$A = x^3 + 2x^2y + 4xy^2 - 2x^2y - 4xy^2 - 8y^3 + 8y^3 = x^3$.

Thay $x = -2$: $A = (-2)^3 = -8$ (giá trị không phụ thuộc vào $y$).

b) $B = (4x - 3y) - (2x - 3y) = 4x - 3y - 2x + 3y = 2x$.

Thay $x = 10$: $B = 2 \cdot 10 = 20$.

Bài 5.

a) Diện tích toàn bộ mảnh vườn:

$$S = (2x + 3y)(2x - y) = 4x^2 - 2xy + 6xy - 3y^2 = 4x^2 + 4xy - 3y^2 \text{ (m}^2\text{)}$$

b) Diện tích phần đất trồng trọt:

$$S_{\text{trồng}} = S - S_{\text{lối đi}} = (4x^2 + 4xy - 3y^2) - (4xy - 3y^2) = 4x^2 \text{ (m}^2\text{)}$$