Bài 11: Hình thang cân - lớp 8

Trong chương trình Toán 8 (Tập 1) bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 11: Hình thang cân tiếp nối bài học về tứ giác lồi với các định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết đặc thù:

1. Định nghĩa hình thang, hình thang cân

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
  • Hai cạnh song song gọi là hai đáy (đáy lớn, đáy nhỏ).
  • Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.
  • Đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một điểm trên đáy này đến đường thẳng chứa đáy kia gọi là đường cao.
• Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Kí hiệu hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB < CD$):

$$\begin{cases} AB \parallel CD \\ \widehat{C} = \widehat{D} \quad (\text{hoặc } \widehat{A} = \widehat{B}) \end{cases}$$

2. Tính chất của hình thang cân

Trong một hình thang cân:

1. Về góc: Hai góc đối bù nhau ($\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$ và $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$).
2. Về cạnh bên: Hai cạnh bên bằng nhau ($AD = BC$).
3. Về đường chéo: Hai đường chéo bằng nhau ($AC = BD$).
4. Trục đối xứng: Đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của hình thang cân.

Chú ý: Ngược lại, một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân (đó có thể là hình bình hành).

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân, ta có 2 cách:

1. Dấu hiệu 1 (Theo góc): Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
2. Dấu hiệu 2 (Theo đường chéo): Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Tính các góc của hình thang cân

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$) có góc $\widehat{D} = 70^\circ$. Tính số đo các góc còn lại của hình thang.

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình thang cân có đáy $CD$ nên hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau:

$$\widehat{C} = \widehat{D} = 70^\circ$$

Vì $AB \parallel CD$, hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là hai góc trong cùng phía, do đó:

$$\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$

Do hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau nên:

$$\widehat{B} = \widehat{A} = 110^\circ$$

Vậy $\widehat{A} = 110^\circ, \widehat{B} = 110^\circ, \widehat{C} = 70^\circ$.

Ví dụ 2: Chứng minh hình thang cân bằng định nghĩa góc

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = AE$.

a) Chứng minh tứ giác $BDEC$ là hình thang.

b) Chứng minh $BDEC$ là hình thang cân.

Lời giải:

a) Vì $AD = AE$ nên $\triangle ADE$ cân tại $A$.

Suy ra: $\widehat{ADE} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.

Mặt khác, $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên: $\widehat{B} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2}$.

Do đó $\widehat{ADE} = \widehat{B}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, suy ra $DE \parallel BC$.

Tứ giác $BDEC$ có $DE \parallel BC$ nên là hình thang.

b) Hình thang $BDEC$ có hai góc kề đáy $BC$ bằng nhau ($\widehat{B} = \widehat{C}$, do $\triangle ABC$ cân tại $A$).

Vậy $BDEC$ là hình thang cân.

Ví dụ 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường chéo

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD, AB < CD$). Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng $OA = OB$ và $OC = OD$.

Lời giải:

Xét $\triangle ADC$ và $\triangle BCD$ có:

• $AD = BC$ (tính chất hai cạnh bên hình thang cân)
• $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (hai góc kề đáy)
• $CD$ là cạnh chung
  • Suy ra $\triangle ADC = \triangle BCD$ (c-g-c).
  • Do đó: $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng), hay $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$.
  • Tam giác $OCD$ có hai góc đáy bằng nhau nên $\triangle OCD$ cân tại $O \Rightarrow OC = OD$.
  • Mặt khác, trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD$.

Ta có:

• $OA = AC - OC$
• $OB = BD - OD$

Vì $AC = BD$ và $OC = OD$, suy ra $OA = OB$.