Ôn tập Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn - lớp 8

Bài học này dành cho thành viên VIP, bạn vui lòng đăng nhập để tiếp tục.

Đăng nhập

Ôn tập Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn

BÀI 34: BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hai tam giác $\triangle A'B'C'$ và $\triangle ABC$ đồng dạng với nhau (ký hiệu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$) khi các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ:

$$\widehat{A'} = \widehat{A}, \quad \widehat{B'} = \widehat{B}, \quad \widehat{C'} = \widehat{C} \quad \text{và} \quad \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = k$$

1. Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c - c - c)

Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

$$\text{Nếu } \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \text{ (c - c - c)}$$

2. Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c - g - c)

Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

$$\text{Nếu } \frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} \quad \text{và} \quad \widehat{A'} = \widehat{A} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \text{ (c - g - c)}$$

3. Trường hợp 3: Góc - Góc (g - g)

Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

$$\text{Nếu } \widehat{B'} = \widehat{B} \quad \text{và} \quad \widehat{C'} = \widehat{C} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \text{ (g - g)}$$

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng: Xác định cặp góc bằng nhau trước để đặt các chữ cái ở vị trí tương ứng. Từ tên tam giác đồng dạng suy ra đúng dãy tỉ số.
Chọn dấu hiệu tối ưu: Ưu tiên trường hợp (g - g) khi bài toán có đường song song, góc đối đỉnh, góc chung hoặc góc vuông. Dùng (c - g - c) khi có góc kẹp giữa hai cặp cạnh cho trước số đo hoặc tỉ số. Dùng (c - c - c) khi biết độ dài tất cả các cạnh.
Kỹ năng suy biến tích chéo: Muốn chứng minh $MA \cdot MB = MC \cdot MD$, đưa về tỉ lệ thức $\frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MB}$ rồi ghép thành hai tam giác đồng dạng $\triangle MAC$ và $\triangle MDB$.

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (c - c - c)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 6\text{ cm}, AC = 9\text{ cm}, BC = 12\text{ cm}$ và $\triangle MNP$ có $MN = 4\text{ cm}, MP = 6\text{ cm}, NP = 8\text{ cm}$. Chứng minh $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$.

Lời giải:

Sắp xếp độ dài các cạnh theo thứ tự tăng dần:

$$\frac{MN}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}; \quad \frac{MP}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}; \quad \frac{NP}{BC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

Vì $\frac{MN}{AB} = \frac{MP}{AC} = \frac{NP}{BC} = \frac{2}{3}$, kết luận $\triangle MNP \backsim \triangle ABC \text{ (c - c - c)}$.

Bài 2 (g - g)

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết $AB = 5\text{ cm}, CD = 10\text{ cm}, OA = 3\text{ cm}$. Tính độ dài $OC$.

Lời giải:

Do $AB \parallel CD$, ta có:

$\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (so le trong).
$\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (so le trong).

Suy ra $\triangle OAB \backsim \triangle OCD \text{ (g - g)}$.

Lập tỉ số đồng dạng:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD} \iff \frac{3}{OC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies OC = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}$$

BÀI 35 & 36: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng $90^\circ$. Hai tam giác vuông $\triangle A'B'C'$ ($\widehat{A'} = 90^\circ$) và $\triangle ABC$ ($\widehat{A} = 90^\circ$) đồng dạng với nhau nếu:

Một cặp góc nhọn bằng nhau: $\widehat{B'} = \widehat{B}$ hoặc $\widehat{C'} = \widehat{C}$.
Hai cạnh góc vuông tỉ lệ: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC}$.
Cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ: $\frac{B'C'}{BC} = \frac{A'B'}{AB}$.

Định lý về các tỉ số tương ứng:

Nếu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$:

Tỉ số đường cao: $\frac{h'}{h} = k$
Tỉ số chu vi: $\frac{P'}{P} = k$
Tỉ số diện tích: $\frac{S'}{S} = k^2$

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Mô hình đường cao tam giác vuông: Kẻ đường cao $AH \perp BC$ từ đỉnh góc vuông $A$ tạo ra 3 tam giác vuông đồng dạng từng đôi một:
$$\triangle HBA \backsim \triangle ABC \backsim \triangle HAC$$
Hệ thức quan trọng:
- $AB^2 = BH \cdot BC$
- $AC^2 = CH \cdot BC$
- $AH^2 = BH \cdot CH$
- $AB \cdot AC = AH \cdot BC$

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài tập (Mô hình đường cao)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Cho $BH = 4\text{ cm}, HC = 9\text{ cm}$. Tính độ dài $AH, AB, AC$.

Lời giải:

Xét $\triangle HBA$ và $\triangle HAC$, ta có:
- $\widehat{BHA} = \widehat{AHC} = 90^\circ$
- $\widehat{HBA} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ với $\widehat{HAB}$)
Suy ra $\triangle HBA \backsim \triangle HAC \text{ (g - g)}$.
Lập tỉ số:
$$\frac{HB}{HA} = \frac{HA}{HC} \implies AH^2 = BH \cdot HC = 4 \cdot 9 = 36 \implies AH = 6\text{ cm}$$
Tính $BC = BH + HC = 4 + 9 = 13\text{ cm}$.
- $AB = \sqrt{BH \cdot BC} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}\text{ cm}$
- $AC = \sqrt{CH \cdot BC} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}\text{ cm}$

BÀI 37: HÌNH ĐỒNG DẠNG

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hình đồng dạng phối cảnh (Hình vị tự): Lấy điểm $O$ làm tâm phối cảnh. Hình $\mathcal{H}'$ là hình đồng dạng phối cảnh của hình $\mathcal{H}$ với tâm $O$ và tỉ số vị tự $k$ nếu với mọi điểm $M$ trên $\mathcal{H}$, tồn tại điểm $M'$ trên $\mathcal{H}'$ sao cho $M'$ thuộc đường thẳng $OM$ và $\frac{OM'}{OM} = k$.
Hai hình đồng dạng tổng quát: Hai hình được gọi là đồng dạng nếu một hình bằng một hình đồng dạng phối cảnh của hình kia.
Các hình luôn đồng dạng: Mọi hình tròn luôn đồng dạng; mọi hình vuông luôn đồng dạng; mọi tam giác đều luôn đồng dạng.

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Hai hình đồng dạng theo tỉ số $k$ thì tỉ số các đoạn thẳng tương ứng bằng $k$, tỉ số diện tích tương ứng bằng $k^2$.
Tỉ lệ bản đồ $1 : N$ biểu thị tỉ số đồng dạng của hình vẽ so với thực địa là $k = \frac{1}{N}$.

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài tập (Bản đồ quy hoạch)

Đề bài: Một sân vận động hình chữ nhật có kích thước trên bản đồ quy hoạch tỉ lệ $1 : 5\,000$ là $2\text{ cm} \times 1{,}5\text{ cm}$. Tính diện tích thực tế của sân vận động theo đơn vị mét vuông ($\text{m}^2$).

Lời giải:

Chiều dài thực tế: $2\text{ cm} \cdot 5\,000 = 10\,000\text{ cm} = 100\text{ m}$.
Chiều rộng thực tế: $1{,}5\text{ cm} \cdot 5\,000 = 7\,500\text{ cm} = 75\text{ m}$.
Diện tích thực tế: $S = 100 \cdot 75 = 7\,500\text{ m}^2$.

ÔN TẬP CHƯƠNG IX

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Nắm chắc 3 trường hợp đồng dạng của tam giác: (c - c - c), (c - g - c), (g - g).
Nắm chắc 3 trường hợp đồng dạng của tam giác vuông, đặc biệt là trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.
Nắm vững các định lý tỉ số: $\frac{h'}{h} = k$, $\frac{P'}{P} = k$, $\frac{S'}{S} = k^2$.

II. BÀI TẬP TỔNG HỢP ÔN CHƯƠNG

Đề bài: Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$.

Chứng minh $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$.
Chứng minh $HB \cdot HD = HC \cdot HE$.
Chứng minh $\triangle ADE \backsim \triangle ABC$.

Lời giải:

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ vuông tại $D$ và $E$: có $\widehat{A}$ chung $\implies \triangle ABD \backsim \triangle ACE$ (góc nhọn).
Xét $\triangle HED$ và các tam giác đối đỉnh $\triangle HEB, \triangle HDC$: $\widehat{HEB} = \widehat{HDC} = 90^\circ$ và $\widehat{EHB} = \widehat{DHC}$ (đối đỉnh) $\implies \triangle HEB \backsim \triangle HDC \text{ (g - g)} \implies \frac{HE}{HD} = \frac{HB}{HC} \implies HB \cdot HD = HC \cdot HE$.
Từ câu 1 có $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \implies \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$. Lại có $\widehat{A}$ chung $\implies \triangle ADE \backsim \triangle ABC \text{ (c - g - c)}$.

BÀI 38: HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có:

Đáy: Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$.
Mặt bên: 3 tam giác cân bằng nhau.
Cạnh bên: Bằng nhau ($SA = SB = SC$).
Đường cao: $SO \perp (ABC)$ với $O$ là trọng tâm $\triangle ABC$, $SO = h$.
Trung đoạn: Đường cao $SK = d$ của mặt bên kẻ từ đỉnh $S$ vuông góc với cạnh đáy.

Công thức:

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = p \cdot d$ ($p = \frac{3a}{2}$ là nửa chu vi đáy).
Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$ ($S_{\text{đáy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$).
Thể tích: $V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h$.

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Liên hệ Pythagore trong $\triangle SOK$ vuông tại $O$: $d^2 = h^2 + OK^2$ với $OK = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Liên hệ Pythagore trong mặt bên cân $\triangle SBC$: $d^2 = SB^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$.

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $a = 6\text{ cm}$, trung đoạn $d = 8\text{ cm}$. Tính diện tích xung quanh và thể tích biết chiều cao $h = \sqrt{61}\text{ cm}$.

Lời giải:

Nửa chu vi đáy: $p = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\text{ cm}$.
Diện tích xung quanh:
$$S_{xq} = p \cdot d = 9 \cdot 8 = 72\text{ cm}^2$$
Diện tích đáy:
$$S_{\text{đáy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$$
Thể tích hình chóp:
$$V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{61} = 3\sqrt{183}\text{ cm}^3$$

BÀI 39: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC ĐỀU

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có:

Đáy: Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.
Mặt bên: 4 tam giác cân bằng nhau.
Cạnh bên: Bằng nhau ($SA = SB = SC = SD$).
Đường cao: $SO \perp (ABCD)$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Trung đoạn: Đường cao $SI = d$ kẻ từ đỉnh $S$ vuông góc với cạnh đáy.

Công thức:

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = p \cdot d = 2a \cdot d$ ($p = 2a$ là nửa chu vi đáy).
Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = S_{xq} + a^2$.
Thể tích: $V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$.

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Tam giác vuông then chốt $SOI$: $OI = \frac{a}{2} \implies d^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$.
Tam giác vuông $SOB$: $OB = \frac{a\sqrt{2}}{2} \implies b^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$.

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a = 16\text{ cm}$, trung đoạn $d = 17\text{ cm}$. Tính:

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp.
Thể tích khối chóp.

Lời giải:

1. Diện tích xung quanh và toàn phần:

Nửa chu vi đáy: $p = \frac{4 \cdot 16}{2} = 32\text{ cm}$.
$S_{xq} = p \cdot d = 32 \cdot 17 = 544\text{ cm}^2$.
$S_{\text{đáy}} = 16^2 = 256\text{ cm}^2$.
$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 544 + 256 = 800\text{ cm}^2$.

2. Thể tích:

Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh đáy: $OI = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$.
Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle SOI$ vuông tại $O$:
$$h = SO = \sqrt{SI^2 - OI^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$
Thể tích khối chóp:
$$V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 256 \cdot 15 = 1\,280\text{ cm}^3$$