Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số - lớp 8

1. Phép cộng phân thức đại số

Cộng hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$$\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$$

Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta thực hiện theo các bước:

1. Quy đồng mẫu thức các phân thức để đưa về dạng cùng mẫu thức.
2. Cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
3. Rút gọn phân thức kết quả (nếu chưa tối giản).

Tính chất của phép cộng phân thức

Tương tự phép cộng phân số, phép cộng phân thức có các tính chất:

• Giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}$
• Kết hợp: $\left(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}\right) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + \left(\frac{C}{D} + \frac{E}{F}\right)$
• Cộng với số 0: $\frac{A}{B} + 0 = 0 + \frac{A}{B} = \frac{A}{B}$

2. Phân thức đối và phép trừ phân thức đại số

Phân thức đối

• Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0$.
• Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ kí hiệu là $-\frac{A}{B}$.
  • $$-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$$
• Ta có: $\frac{A}{B} + \left(-\frac{A}{B}\right) = 0$ và $-\left(-\frac{A}{B}\right) = \frac{A}{B}$.

Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$, ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$:

$$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left(-\frac{C}{D}\right)$$

Quy tắc trừ trực tiếp cùng mẫu:

$$\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$$

(Lưu ý: Đặt tử thức thứ hai vào dấu ngoặc trước khi đổi dấu: $A - B = A - (B)$).

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Cộng, trừ phân thức cùng mẫu thức

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $A = \frac{3x - 1}{x + 2} + \frac{x + 9}{x + 2}$

b) $B = \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{2x}{x - 1}$

Lời giải:

a) Cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$$A = \frac{(3x - 1) + (x + 9)}{x + 2} = \frac{4x + 8}{x + 2} = \frac{4(x + 2)}{x + 2} = 4$$

b) Trừ các tử thức (lưu ý đổi dấu) và giữ nguyên mẫu thức:

$$B = \frac{x^2 + 1 - 2x}{x - 1} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)^2}{x - 1} = x - 1$$

Ví dụ 2: Cộng, trừ phân thức khác mẫu thức

Đề bài: Thực hiện phép tính:

$$P = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} + \frac{4}{x^2 - 4}$$

Lời giải:

Phân tích mẫu thức: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Mẫu thức chung (MTC): $(x - 2)(x + 2)$.

Quy đồng và thực hiện phép tính:

$$\begin{aligned} P &= \frac{1 \cdot (x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1 \cdot (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \frac{(x + 2) - (x - 2) + 4}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \frac{x + 2 - x + 2 + 4}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \frac{8}{x^2 - 4} \end{aligned}$$

Ví dụ 3: Áp dụng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung

Đề bài: Thực hiện phép tính:

$$Q = \frac{x + 3}{x^2 - 1} + \frac{2}{1 - x}$$

Lời giải:

Đổi dấu phân thức thứ hai: $\frac{2}{1 - x} = -\frac{2}{x - 1}$.

Ta có: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \Rightarrow \text{MTC} = (x - 1)(x + 1)$.

$$\begin{aligned} Q &= \frac{x + 3}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{2}{x - 1} \\ &= \frac{x + 3 - 2(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 3 - 2x - 2}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{-x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{-(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = -\frac{1}{x + 1} \end{aligned}$$

Ví dụ 4: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

Đề bài: Cho biểu thức $M = \frac{x}{x - 3} - \frac{6x}{x^2 - 9} + \frac{3}{x + 3}$.

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức $M$.

b) Rút gọn biểu thức $M$.

c) Tính giá trị của $M$ khi $x = 5$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

$$\begin{cases} x - 3 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 3 \\ x \neq -3 \end{cases}$$

b) Với $x \neq \pm 3$, ta có $\text{MTC} = (x - 3)(x + 3)$:

$$\begin{aligned} M &= \frac{x(x + 3) - 6x + 3(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} \\ &= \frac{x^2 + 3x - 6x + 3x - 9}{(x - 3)(x + 3)} \\ &= \frac{x^2 - 9}{(x - 3)(x + 3)} = 1 \end{aligned}$$

c) Vì biểu thức sau khi rút gọn bằng hằng số $1$ với mọi $x \neq \pm 3$, nên tại $x = 5$ (thỏa mãn điều kiện xác định), giá trị của $M$ bằng $1$.