Bài 37: Hình đồng dạng - lớp 8

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khái niệm đồng dạng mở rộng từ tam giác sang các hình hình học bất kỳ (đa giác, hình tròn, hình ảnh thực tế). Hai hình được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng hình dạng nhưng có thể khác nhau về kích thước.

1. Hình đồng dạng phối cảnh (Hình vị tự)

• Lấy điểm $O$ cố định làm tâm phối cảnh. Với mỗi điểm $M$ thuộc hình $\mathcal{H}$, lấy điểm $M'$ trên tia $OM$ (hoặc tia đối của tia $OM$) sao cho $\frac{OM'}{OM} = k$ ($k > 0$). Khi điểm $M$ di động trên hình $\mathcal{H}$ thì tập hợp các điểm $M'$ tạo thành hình $\mathcal{H}'$.

• Hình $\mathcal{H}'$ gọi là hình đồng dạng phối cảnh (hoặc hình vị tự) của hình $\mathcal{H}$ với tâm phối cảnh $O$ và tỉ số vị tự $k$.

2. Hai hình đồng dạng tổng quát

• Hai hình được gọi là đồng dạng nếu hình này bằng một hình đồng dạng phối cảnh của hình kia (hoặc qua một chuỗi phép biến hình gồm phép dời hình và phép đồng dạng phối cảnh).

• Đặc điểm của hai đa giác đồng dạng:

  • Các góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{A} = \widehat{A'}, \; \widehat{B} = \widehat{B'}, \; \dots$

  • Các cạnh tương ứng tỉ lệ: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'D'}{CD} = \dots = k$.

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

1. Nhận biết các hình luôn đồng dạng trong thực tế:

   • Mọi hình tròn luôn đồng dạng với nhau (tỉ số đồng dạng bằng tỉ số hai bán kính).

   • Mọi hình vuông luôn đồng dạng với nhau (tỉ số đồng dạng bằng tỉ số hai cạnh).

   • Mọi tam giác đều luôn đồng dạng với nhau.

   • Các đa giác đều có cùng số cạnh luôn đồng dạng với nhau.

2. Cách dựng hình đồng dạng phối cảnh tỉ số $k$ từ tâm $O$:

   • Bước 1: Nối tâm $O$ với từng đỉnh quan trọng $A, B, C, \dots$ của hình gốc.

   • Bước 2: Trên các tia $OA, OB, OC, \dots$, lấy các điểm tương ứng $A', B', C', \dots$ sao cho $OA' = k \cdot OA, \; OB' = k \cdot OB, \dots$

   • Bước 3: Nối các đỉnh mới để hoàn thiện hình đồng dạng phối cảnh.

3. Tính toán chu vi, diện tích và kích thước thực tế:

   • Nếu hai hình đồng dạng theo tỉ số $k$:

     • Tỉ số các kích thước tuyến tính (chu vi, đường cao, bán kính, đường chéo): $\frac{P'}{P} = k$.

     • Tỉ số diện tích: $\frac{S'}{S} = k^2$.

   • Trong bản đồ hoặc bản vẽ kỹ thuật tỉ lệ $1 : N$, hình trên bản đồ đồng dạng với hình thực tế theo tỉ số $k = \frac{1}{N}$.

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (Nhận biết và tính toán cạnh của đa giác đồng dạng)

Đề bài: Một tứ giác $ABCD$ có độ dài các cạnh lần lượt là $AB = 3\text{ cm}, BC = 5\text{ cm}, CD = 6\text{ cm}, DA = 8\text{ cm}$. Một tứ giác $A'B'C'D'$ đồng dạng với tứ giác $ABCD$ và có cạnh nhỏ nhất bằng $4{,}5\text{ cm}$.

1. Tìm tỉ số đồng dạng $k$ của tứ giác $A'B'C'D'$ so với tứ giác $ABCD$.

2. Tính chu vi của tứ giác $A'B'C'D'$.

Lời giải:

1. Tìm tỉ số đồng dạng $k$: Trong tứ giác $ABCD$, cạnh nhỏ nhất là $AB = 3\text{ cm}$. Vì tứ giác $A'B'C'D' \backsim ABCD$, cạnh nhỏ nhất của tứ giác $A'B'C'D'$ phải tương ứng với cạnh $AB$, tức là $A'B' = 4{,}5\text{ cm}$. Tỉ số đồng dạng là:

$$k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5$$

2. Tính chu vi của tứ giác $A'B'C'D'$: Chu vi của tứ giác $ABCD$ là:

$$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 3 + 5 + 6 + 8 = 22\text{ cm}$$

Vì tỉ số chu vi của hai đa giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng $k$, nên:

$$\frac{P_{A'B'C'D'}}{P_{ABCD}} = k \implies P_{A'B'C'D'} = 1{,}5 \cdot 22 = 33\text{ cm}$$

Bài 2 (Dựng hình đồng dạng phối cảnh)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $A', B', C'$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$.

1. Chứng minh $\triangle A'B'C'$ là hình đồng dạng phối cảnh của $\triangle ABC$. Xác định tâm phối cảnh và tỉ số đồng dạng.

2. So sánh diện tích của $\triangle A'B'C'$ và $\triangle ABC$.

Lời giải:

1. Xác định tâm và tỉ số phối cảnh: Theo tính chất trọng tâm tam giác:

• Đoạn $GA'$ nằm trên tia đối của tia $GA$ và có độ dài $GA' = \frac{1}{2} GA$.

• Tương tự, $GB' = \frac{1}{2} GB$ và $GC' = \frac{1}{2} GC$.

Do đó, $\triangle A'B'C'$ là hình đồng dạng phối cảnh của $\triangle ABC$ với tâm phối cảnh là trọng tâm $G$ và tỉ số vị tự $k = \frac{1}{2}$ (theo hướng tia đối).

2. So sánh diện tích: Vì $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k = \frac{1}{2}$, tỉ số diện tích giữa hai tam giác là:

$$\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Vậy diện tích tam giác $A'B'C'$ bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

Bài 3 (Ứng dụng tỉ lệ xích bản đồ)

Đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước trên bản đồ quy hoạch tỉ lệ $1 : 2\,000$ là chiều dài $4\text{ cm}$ và chiều rộng $2{,}5\text{ cm}$.

1. Tính chiều dài và chiều rộng thực tế của mảnh đất theo đơn vị mét.

2. Tính diện tích thực tế của mảnh đất theo đơn vị mét vuông ($\text{m}^2$).

Lời giải:

1. Tính kích thước thực tế: Bản đồ có tỉ lệ xích $k = \frac{1}{2\,000}$, do đó kích thước thực tế gấp $2\,000$ lần kích thước trên bản đồ:

• Chiều dài thực tế:

  $$4\text{ cm} \cdot 2\,000 = 8\,000\text{ cm} = 80\text{ m}$$

• Chiều rộng thực tế:

  $$2{,}5\text{ cm} \cdot 2\,000 = 5\,000\text{ cm} = 50\text{ m}$$

2. Tính diện tích thực tế:

• Diện tích mảnh đất thực tế là:

  $$S = 80 \cdot 50 = 4\,000\text{ m}^2$$

(Cách 2: Áp dụng tỉ số diện tích: Diện tích trên bản đồ là $4 \cdot 2{,}5 = 10\text{ cm}^2 = 0{,}001\text{ m}^2$. Diện tích thực tế là $0{,}001 \cdot 2\,000^2 = 4\,000\text{ m}^2$).