Bài 31: Cách tính xác suất của biến cố bằng tỉ số - lớp 8

I. Kiến thức cần nhớ

1. Kết quả đồng khả năng: Các kết quả có khả năng xảy ra như nhau trong một hành động hay thực nghiệm.

2. Công thức tính xác suất:

   Giả thiết một hành động hay thực nghiệm có $n$ kết quả có thể và các kết quả này là đồng khả năng. Nếu có $k$ kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ thì xác suất của biến cố $E$, kí hiệu là $P(E)$, được tính theo công thức:

   $$P(E) = \frac{k}{n} = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho } E}{\text{Tổng số kết quả có thể}}$$

3. Tính chất:

   • Với mọi biến cố $E$, ta luôn có: $0 \le P(E) \le 1$.

   • Nếu $E$ là biến cố không thể thì $P(E) = 0$.

   • Nếu $E$ là biến cố chắc chắn thì $P(E) = 1$.

II. Kĩ năng giải toán

1. Quy trình 3 bước tính xác suất:

   • Bước 1 (Tìm mẫu số $n$): Đếm tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử (kiểm tra điều kiện các kết quả này phải đồng khả năng).

   • Bước 2 (Tìm tử số $k$): Xác định và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất.

   • Bước 3 (Lập tỉ số & rút gọn): Áp dụng công thức $P(E) = \frac{k}{n}$, sau đó rút gọn phân số về dạng tối giản (hoặc đổi sang số thập phân/phần trăm nếu đề bài yêu cầu).

2. Kĩ năng đếm nhanh và kiểm soát điều kiện:

   • Với dãy số liên tiếp từ $a$ đến $b$: Số phần tử bằng $(b - a) + 1$.

   • Với dãy số cách đều có khoảng cách $d$: Số phần tử bằng $\frac{\text{Số cuối} - \text{Số đầu}}{d} + 1$.

   • Sử dụng biến cố đối (Mẹo giải nhanh): Nếu việc đếm số kết quả thuận lợi cho $E$ quá phức tạp (thường chứa cụm từ "có ít nhất..."), ta đếm số kết quả làm cho $E$ không xảy ra (kí hiệu $\overline{E}$), khi đó:

     $$P(E) = 1 - P(\overline{E})$$

III. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất một lần. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $A$: "Mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn".

b) $B$: "Mặt xuất hiện có số chấm là số nguyên tố".

c) $C$: "Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 6".

Lời giải:

Con xúc xắc cân đối nên có $n = 6$ kết quả có thể và đồng khả năng: $\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

a) Các kết quả thuận lợi cho $A$ là $\{2; 4; 6\} \Rightarrow k = 3$.

Xác suất của biến cố $A$ là:

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

b) Các kết quả thuận lợi cho $B$ là $\{2; 3; 5\} \Rightarrow k = 3$.

Xác suất của biến cố $B$ là:

$$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

c) Vì con xúc xắc chỉ có từ 1 đến 6 chấm nên $C$ là biến cố không thể ($k = 0$).

$$P(C) = \frac{0}{6} = 0$$

Bài 2. Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ $1$ đến $20$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $M$: "Số ghi trên thẻ rút được chia hết cho 5".

b) $N$: "Số ghi trên thẻ rút được là số chính phương".

c) $K$: "Số ghi trên thẻ rút được là số có hai chữ số".

Lời giải:

Tổng số kết quả có thể là $n = 20$ (các số từ 1 đến 20, đồng khả năng).

a) Các số chia hết cho 5 trong khoảng từ 1 đến 20 là: $\{5; 10; 15; 20\} \Rightarrow k = 4$.

$$P(M) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$$

b) Các số chính phương từ 1 đến 20 là: $\{1; 4; 9; 16\} \Rightarrow k = 4$.

$$P(N) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$$

c) Các số có hai chữ số từ 1 đến 20 là từ 10 đến 20: gồm $(20 - 10) + 1 = 11$ số $\Rightarrow k = 11$.

$$P(K) = \frac{11}{20}$$

Bài 3. Một túi đựng 15 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, gồm 6 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 4 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi. Tính xác suất để:

a) Lấy được viên bi màu đỏ.

b) Lấy được viên bi không phải màu vàng.

Lời giải:

Tổng số kết quả có thể là $n = 6 + 5 + 4 = 15$ viên bi.

a) Gọi $E$ là biến cố "Lấy được viên bi màu đỏ". Số kết quả thuận lợi là $k = 6$.

$$P(E) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$

b) Gọi $F$ là biến cố "Lấy được viên bi không phải màu vàng".

• Cách 1: Viên bi lấy ra có màu đỏ hoặc xanh, số kết quả thuận lợi là $k = 6 + 5 = 11$.

  $$P(F) = \frac{11}{15}$$

• Cách 2: Xác suất lấy được bi vàng là $\frac{4}{15}$.

  Xác suất lấy bi không phải màu vàng là: $P(F) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$.