Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông - lớp 8

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông ($90^\circ$). Do yếu tố một góc bằng nhau đã luôn được thỏa mãn, các điều kiện để hai tam giác vuông đồng dạng trở nên ngắn gọn và xuất hiện thêm trường hợp đặc thù về cạnh huyền.

1. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Cho hai tam giác vuông $\triangle A'B'C'$ ($\widehat{A'} = 90^\circ$) và $\triangle ABC$ ($\widehat{A} = 90^\circ$):

• Trường hợp 1 (Một góc nhọn bằng nhau):

  Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

  $$\widehat{B'} = \widehat{B} \quad (\text{hoặc } \widehat{C'} = \widehat{C}) \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$$

• Trường hợp 2 (Hai cạnh góc vuông tỉ lệ):

  Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

  $$\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$$

• Trường hợp 3 (Cạnh huyền và cạnh góc vuông):

  Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

  $$\frac{B'C'}{BC} = \frac{A'B'}{AB} \quad (\text{hoặc } \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}) \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$$

2. Định lý về tỉ số hai đường cao, chu vi và diện tích

Nếu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{A'B'}{AB}$:

• Tỉ số hai đường cao tương ứng xuất phát từ đỉnh góc vuông: $\frac{h'}{h} = k$

• Tỉ số chu vi của hai tam giác: $\frac{P_{\triangle A'B'C'}}{P_{\triangle ABC}} = k$

• Tỉ số diện tích của hai tam giác: $\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}} = k^2$

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

1. Khai thác mô hình góc phụ nhau:

   • Trong tam giác vuông, hai góc nhọn luôn có tổng bằng $90^\circ$. Khi gặp đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông hoặc đường thẳng vuông góc, hãy tìm các cặp góc cùng phụ với một góc thứ ba để suy ra chúng bằng nhau rồi áp dụng trường hợp góc nhọn.

2. Mô hình đường cao hạ từ đỉnh góc vuông:

   • Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH \perp BC$:

     $$\triangle HBA \backsim \triangle ABC \backsim \triangle HAC$$

   • Các hệ thức suy diễn thường dùng:

     • $AB^2 = BH \cdot BC$

     • $AC^2 = CH \cdot BC$

     • $AH^2 = BH \cdot CH$

     • $AB \cdot AC = AH \cdot BC$

3. Chuyển đổi linh hoạt giữa định lý Pythagore và tỉ lệ thức:

   • Khi bài toán cho tỉ số cạnh huyền và cạnh góc vuông, có thể dùng định lý Pythagore để tính cạnh còn lại hoặc lập tỉ số trực tiếp qua trường hợp "cạnh huyền - cạnh góc vuông" mà không cần tính độ dài cụ thể.

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (Trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$. Cho $\triangle MNP$ vuông tại $M$ có $MN = 9\text{ cm}$, $NP = 15\text{ cm}$.

1. Chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$.

2. Tính tỉ số diện tích giữa $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$.

Lời giải:

1. Chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$: Xét $\triangle ABC$ ($\widehat{A} = 90^\circ$) và $\triangle MNP$ ($\widehat{M} = 90^\circ$), ta có:

$$\frac{AB}{MN} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{BC}{NP} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

Suy ra:

$$\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{2}{3}$$

Do đó, $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$ theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông (tỉ số đồng dạng $k = \frac{2}{3}$).

2. Tính tỉ số diện tích: Theo định lý về tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng:

$$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MNP}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Bài 2 (Mô hình đường cao và cặp góc cùng phụ)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Cho biết $AB = 15\text{ cm}$ và $AC = 20\text{ cm}$.

1. Chứng minh $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$.

2. Tính độ dài đoạn thẳng $BC$ và $AH$.

Lời giải:

1. Chứng minh $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$: Xét $\triangle HBA$ (vuông tại $H$) và $\triangle ABC$ (vuông tại $A$):

• $\widehat{BHA} = \widehat{BAC} = 90^\circ$

• Góc $\widehat{B}$ là góc chung

Suy ra $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$ (trường hợp một góc nhọn bằng nhau).

2. Tính $BC$ và $AH$: Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông $\triangle ABC$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \implies BC = \sqrt{625} = 25\text{ cm}$$

Vì $\triangle HBA \backsim \triangle ABC$, ta lập tỉ số cạnh tương ứng:

$$\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \implies AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}$$

Thay các số đo vào:

$$AH = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12\text{ cm}$$

Bài 3 (Ứng dụng thực tế: Đo khoảng cách không đến được)

Đề bài: Để đo bề rộng $AB$ của một khúc sông mà không cần qua sông, một bạn học sinh cắm cọc tại các vị trí $A, B$ (hai điểm đối diện trên hai bờ sông sao cho $AB \perp$ bờ sông tại $B$). Trên bờ sông chứa điểm $B$, bạn chọn thêm các vị trí $C, D, E$ sao cho:

• Ba điểm $B, C, D$ thẳng hàng và $BD \perp DE$.

• Ba điểm $A, C, E$ thẳng hàng.

• Đo được $BC = 40\text{ m}$, $CD = 20\text{ m}$, $DE = 25\text{ m}$. Tính bề rộng $AB$ của khúc sông.

Lời giải: Xét hai tam giác vuông $\triangle ABC$ (vuông tại $B$) và $\triangle EDC$ (vuông tại $D$):

• $\widehat{ABC} = \widehat{EDC} = 90^\circ$ (theo cách dựng).

• $\widehat{ACB} = \widehat{ECD}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\triangle ABC \backsim \triangle EDC$ (g - g).

Lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng:

$$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC} \implies AB = \frac{BC \cdot ED}{DC}$$

Thay số vào:

$$AB = \frac{40 \cdot 25}{20} = 50\text{ m}$$

Vậy chiều rộng $AB$ của khúc sông là $50\text{ m}$.