Bài 21: Phân thức đại số - lớp 8

1. Khái niệm phân thức đại số

Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó $A$ và $B$ là những đa thức và $B$ khác đa thức $0$.

• $A$ được gọi là tử thức (hay tử).

• $B$ được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý:

• Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng $1$.

• Mỗi số thực bất kì $a$ là một đa thức, nên $a$ cũng là một phân thức (với mẫu bằng $1$).

• Số $0$ và số $1$ cũng là những phân thức đại số.

Ví dụ về phân thức:

• $\frac{x - 1}{x + 2}$ (tử là $x - 1$, mẫu là $x + 2$)

• $\frac{2x^2 - 3xy + 1}{5}$ (tử là $2x^2 - 3xy + 1$, mẫu là đa thức $5$)

• $x^2 + 3$ (coi là $\frac{x^2 + 3}{1}$)

Biểu thức không phải phân thức:

• $\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 2}$ (tử thức chứa $\sqrt{x}$ không phải là đa thức)

• $\frac{x + 2}{0}$ (mẫu thức là số $0$)

2. Hai phân thức bằng nhau

Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ ($B \neq 0, D \neq 0$), ta quy ước:

$$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \quad \text{khi và chỉ khi} \quad A \cdot D = B \cdot C$$

Ví dụ:

• $\frac{x - 1}{x^2 - 1} = \frac{1}{x + 1}$ vì $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 = (x^2 - 1) \cdot 1$.

• $\frac{x}{3} \neq \frac{x^2}{3}$ vì $x \cdot 3 \neq 3 \cdot x^2$ với mọi $x \notin \{0; 1\}$.

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

• Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức khác $0$ ($B \neq 0$).

• Muốn tính giá trị của phân thức tại những giá trị cho trước của biến, trước hết ta phải kiểm tra xem các giá trị đó có thỏa mãn điều kiện xác định hay không. Nếu thỏa mãn, ta thay các giá trị đó vào phân thức (hoặc dạng thu gọn của phân thức) rồi thực hiện phép tính.

4. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Nhận biết hai phân thức bằng nhau

Đề bài: Các cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?

a) $\frac{3x}{2}$ và $\frac{6x^2}{4x}$

b) $\frac{x - 2}{x + 2}$ và $\frac{x^2 - 4}{(x + 2)^2}$

Lời giải:

a) Xét tích chéo:

$$(3x) \cdot (4x) = 12x^2$$

$$2 \cdot (6x^2) = 12x^2$$

Vì $(3x) \cdot (4x) = 2 \cdot (6x^2)$ nên $\frac{3x}{2} = \frac{6x^2}{4x}$.

b) Xét tích chéo:

$$(x - 2)(x + 2)^2 = (x - 2)(x + 2)(x + 2) = (x^2 - 4)(x + 2)$$

Tích chéo thứ hai: $(x + 2)(x^2 - 4)$.

Vì hai tích chéo bằng nhau nên:

$$\frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^2}$$

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức

Đề bài: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) $P = \frac{2x + 1}{x - 3}$

b) $Q = \frac{x - 1}{x^2 - 4}$

c) $M = \frac{5x + 2}{x^2 + 1}$

Lời giải:

a) Phân thức $P$ xác định khi mẫu thức khác $0$:

$$x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3$$

Vậy điều kiện xác định của $P$ là $x \neq 3$.

b) Phân thức $Q$ xác định khi:

$$x^2 - 4 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq -2 \end{cases}$$

Vậy điều kiện xác định của $Q$ là $x \neq 2$ và $x \neq -2$ (viết gọn $x \neq \pm 2$).

c) Phân thức $M$ có mẫu thức là $x^2 + 1$.

Vì $x^2 \ge 0$ với mọi số thực $x$, nên $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x$.

Vậy phân thức $M$ xác định với mọi giá trị của biến $x \in \mathbb{R}$.

Ví dụ 3: Tính giá trị của phân thức

Đề bài: Cho phân thức $A = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.

a) Viết điều kiện xác định của phân thức $A$.

b) Tính giá trị của phân thức $A$ tại $x = 7$ và tại $x = -3$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -3$.

b)

• Với $x = 7$: Thỏa mãn điều kiện xác định ($7 \neq -3$).

  Thay $x = 7$ vào biểu thức:

  $$A = \frac{7^2 - 9}{7 + 3} = \frac{49 - 9}{10} = \frac{40}{10} = 4$$

• Với $x = -3$: Không thỏa mãn điều kiện xác định ($x \neq -3$).

  Do đó, tại $x = -3$ phân thức $A$ không xác định (không có giá trị).

Ví dụ 4: Vận dụng thực tế

Đề bài: Một xưởng may theo kế hoạch phải may $1000$ chiếc áo trong $x$ ngày.

a) Viết phân thức biểu thị số áo xưởng phải may trong một ngày theo kế hoạch.

b) Khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật, xưởng hoàn thành kế hoạch sớm hơn $2$ ngày. Viết phân thức biểu thị số áo xưởng thực tế may được trong một ngày.

Lời giải:

a) Số áo xưởng phải may trong một ngày theo kế hoạch là: $\frac{1000}{x}$ (chiếc áo).

b) Thời gian thực tế xưởng hoàn thành công việc là $x - 2$ (ngày) với điều kiện $x > 2$.

Số áo xưởng thực tế may được trong một ngày là: $\frac{1000}{x - 2}$ (chiếc áo).