Bài 33: Hai tam giác đồng dạng - lớp 8

Bài học này dành cho thành viên VIP, bạn vui lòng đăng nhập để tiếp tục.

Đăng nhập

Bài 33: Hai tam giác đồng dạng

I. Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa hai tam giác đồng dạng:

Tam giác $A'B'C'$ gọi là đồng dạng với tam giác $ABC$ (kí hiệu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$) nếu:

$$\widehat{A'} = \widehat{A}, \quad \widehat{B'} = \widehat{B}, \quad \widehat{C'} = \widehat{C}$$

$$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = k \quad (k > 0 \text{ gọi là tỉ số đồng dạng})$$
Tính chất:
- Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó theo tỉ số $k = 1$.
- Nếu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$ thì $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$ theo tỉ số $\frac{1}{k}$.
- Tính chất bắc cầu: Nếu $\triangle A''B''C'' \backsim \triangle A'B'C'$ và $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ thì $\triangle A''B''C'' \backsim \triangle ABC$.
- Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng $k$.
Định lí tạo tam giác đồng dạng:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Cho $\triangle ABC$, nếu đường thẳng $d$ song song với $BC$ và cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$ thì:

$$\triangle AMN \backsim \triangle ABC$$

(Định lí vẫn đúng khi đường thẳng $d$ cắt phần kéo dài của hai cạnh $AB, AC$).

II. Kĩ năng giải toán

Kĩ năng viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng:

Khi viết kí hiệu đồng dạng $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$:
- Đỉnh tương ứng với đỉnh: $A' \leftrightarrow A, B' \leftrightarrow B, C' \leftrightarrow C$.
- Lập các tỉ số cạnh tương ứng bằng cách lấy theo cặp đỉnh: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA}$.
Kĩ năng tính độ dài đoạn thẳng:
- Từ cặp tam giác đồng dạng, thiết lập dãy tỉ số bằng nhau.
- Thay các giá trị đoạn thẳng đã biết và áp dụng tính chất tỉ lệ thức để tìm đoạn thẳng chưa biết.
Kĩ năng nhận diện mô hình song song (Định lí cơ bản):
- Tìm yếu tố song song ($MN \parallel BC$).
- Kết luận ngay tam giác nhỏ phía trên đồng dạng tam giác lớn ban đầu ($\triangle AMN \backsim \triangle ABC$) mà không cần chứng minh góc.

III. Hình vẽ minh họa

Mô hình định lí: Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác

$\triangle ABC$ có $AB = 6\text{ cm}, AC = 7,5\text{ cm}, BC = 9\text{ cm}$. Đường thẳng $MN \parallel BC$ với $M \in AB, N \in AC$ sao cho $AM = 2\text{ cm} \Rightarrow \triangle AMN \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k = \frac{1}{3}$.

IV. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{2}{3}$.

a) Biết các cạnh của $\triangle ABC$ là $AB = 6\text{ cm}, BC = 9\text{ cm}, CA = 12\text{ cm}$. Tính độ dài các cạnh của $\triangle A'B'C'$.

b) Tính tỉ số chu vi của $\triangle A'B'C'$ và $\triangle ABC$.

Lời giải:

a) Vì $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ nên:

$$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = \frac{2}{3}$$

Do đó:

$A'B' = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\text{ cm}$.
$B'C' = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\text{ cm}$.
$C'A' = \frac{2}{3} CA = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\text{ cm}$.

b) Chu vi tam giác $A'B'C'$ là: $P' = 4 + 6 + 8 = 18\text{ cm}$.

Chu vi tam giác $ABC$ là: $P = 6 + 9 + 12 = 27\text{ cm}$.

Tỉ số chu vi: $\frac{P'}{P} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} = k$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $30\text{ cm}$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $AB, BC, CA$.

a) Chứng minh $\triangle MNP \backsim \triangle CBA$.

b) Tính tỉ số đồng dạng và chu vi của tam giác $MNP$.

Lời giải:

a) Vì $M, N, P$ là trung điểm của các cạnh nên $MN, NP, PM$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$:

$$MN = \frac{1}{2}AC, \quad NP = \frac{1}{2}AB, \quad PM = \frac{1}{2}BC$$

Suy ra:

$$\frac{MN}{CA} = \frac{NP}{AB} = \frac{PM}{BC} = \frac{1}{2}$$

Mặt khác, các góc tương ứng bằng nhau (do các cạnh tương ứng song song).

Do đó $\triangle MNP \backsim \triangle CBA$ theo định nghĩa.

b) Tỉ số đồng dạng là $k = \frac{1}{2}$.

Tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng, do đó:

$$P_{MNP} = \frac{1}{2} P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\text{ cm}$$

Bài 3. Cho hình bình hành $ABCD$. Một đường thẳng đi qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $E$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $F$.

a) Chứng minh $\triangle ADE \backsim \triangle CFE$.

b) Chứng minh $AD \cdot CF = AE \cdot BF$... rút ra hệ thức $\frac{AE}{AB} \cdot \frac{CF}{CB} = 1$ (hoặc $DE^2 = \dots$).

Lời giải:

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

Do $AD \parallel BF$ (vì $F \in BC$) nên trong tam giác $EBF$ có:

$\widehat{ADE} = \widehat{CFE}$ (hai góc so le trong do $AD \parallel BC$).
Mặt khác $\widehat{AED} = \widehat{CEF}$ (hai góc đối đỉnh nếu xét giao, ở đây $E \in AB \Rightarrow \widehat{AED} = \widehat{FEB}$ bù).

Cụ thể, xét $\triangle ADE$ và $\triangle BFE$:

Vì $AD \parallel BF \Rightarrow \triangle ADE \backsim \triangle BFE$.

Xét $\triangle EBF$ và $\triangle DCF$:

Vì $EB \parallel DC \Rightarrow \triangle EBF \backsim \triangle DCF$.

Theo tính chất bắc cầu: $\triangle ADE \backsim \triangle DCF$.