Ôn tập Chương 9: Tam giác đồng dạng - lớp 8

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Sơ đồ hệ thống hóa kiến thức

2. Các công thức và tính chất cốt lõi

Nếu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k = \frac{A'B'}{AB}$:

• Tỉ số đồng dạng: $k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA}$.

• Tỉ số chu vi: $\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} = k$.

• Tỉ số đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác tương ứng: $\frac{h'}{h} = \frac{m'}{m} = \frac{d'}{d} = k$.

• Tỉ số diện tích: $\frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = k^2$.

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

1. Kỹ thuật đổi đỉnh và lập dãy tỉ số:

   • Luôn đối chiếu đúng thứ tự đỉnh tương ứng trước khi lập tỉ số: nếu $\triangle ABE \backsim \triangle ACF$ thì $\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CF} = \frac{AE}{AF}$.

2. Kỹ thuật chọn tam giác phụ qua tích đoạn thẳng:

   • Khi đề bài yêu cầu chứng minh hệ thức $MA \cdot MB = MC \cdot MD$:

     • Biến đổi về tỉ lệ thức: $\frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MB}$ (hoặc $\frac{MA}{MC} = \frac{MD}{MB}$).

     • Tìm hai tam giác có các cạnh tương ứng: $\triangle MAC$ và $\triangle MDB$.

3. Mô hình đường cao trong tam giác vuông:

   • Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH \perp BC$:

     • $\triangle HBA \backsim \triangle ABC \implies AB^2 = BH \cdot BC$

     • $\triangle HAC \backsim \triangle ABC \implies AC^2 = CH \cdot BC$

     • $\triangle HBA \backsim \triangle HAC \implies AH^2 = BH \cdot CH$

     • Diện tích: $AH \cdot BC = AB \cdot AC$

III. BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (Bài toán tổng hợp hình học kinh điển)

Đề bài: Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$ ($D \in AC, E \in AB$).

1. Chứng minh $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$.

2. Chứng minh $HD \cdot HB = HE \cdot HC$.

3. Chứng minh $\triangle ADE \backsim \triangle ABC$.

Lời giải:

1. Chứng minh $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$: Xét $\triangle ABD$ (vuông tại $D$) và $\triangle ACE$ (vuông tại $E$):

• $\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^\circ$ (do $BD \perp AC, CE \perp AB$).

• Góc $\widehat{A}$ là góc chung.

Suy ra $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$ (trường hợp tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng nhau).

2. Chứng minh $HD \cdot HB = HE \cdot HC$: Xét $\triangle HED$ và các tam giác đối đỉnh $\triangle HEB$ và $\triangle HDC$:

• $\widehat{HEB} = \widehat{HDC} = 90^\circ$.

• $\widehat{EHB} = \widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\triangle HEB \backsim \triangle HDC$ (g - g). Lập tỉ số cạnh tương ứng:

$$\frac{HE}{HD} = \frac{HB}{HC} \implies HD \cdot HB = HE \cdot HC$$

3. Chứng minh $\triangle ADE \backsim \triangle ABC$: Từ kết quả câu 1, vì $\triangle ABD \backsim \triangle ACE$ nên ta có tỉ số:

$$\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \implies \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$:

• Góc $\widehat{A}$ là góc chung.

• $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\triangle ADE \backsim \triangle ABC \text{ (c - g - c)}$.

Bài 2 (Tính toán độ dài và diện tích)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 9\text{ cm}, AC = 12\text{ cm}$. Kẻ đường cao $AH$ ($H \in BC$).

1. Tính độ dài cạnh huyền $BC$ và đường cao $AH$.

2. Tính tỉ số diện tích giữa $\triangle HBA$ và $\triangle ABC$.

3. Tính diện tích của $\triangle HAC$.

Lời giải:

1. Tính độ dài $BC$ và $AH$: Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$

Vì diện tích $\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} AH \cdot BC$:

$$AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7{,}2\text{ cm}$$

2. Tính tỉ số diện tích giữa $\triangle HBA$ và $\triangle ABC$: Xét $\triangle HBA$ vuông tại $H$ và $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có góc $\widehat{B}$ chung nên:

$$\triangle HBA \backsim \triangle ABC$$

Tỉ số đồng dạng là:

$$k = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$$

Theo định lý về tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng:

$$\frac{S_{\triangle HBA}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$$

3. Tính diện tích $\triangle HAC$: Diện tích $\triangle ABC$ là:

$$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\text{ cm}^2$$

Diện tích $\triangle HBA$ là:

$$S_{\triangle HBA} = \frac{9}{25} \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{9}{25} \cdot 54 = 19{,}44\text{ cm}^2$$

Suy ra diện tích $\triangle HAC$:

$$S_{\triangle HAC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle HBA} = 54 - 19{,}44 = 34{,}56\text{ cm}^2$$

Bài 3 (Ứng dụng thực tế: Bóng của vật thể)

Đề bài: Vào một thời điểm trong ngày, một cái cọc cao $2\text{ m}$ cắm vuông góc với mặt đất có bóng trải dài trên mặt đất là $1{,}2\text{ m}$. Cùng thời điểm đó, bóng của một tòa nhà in trên mặt đất đo được là $27\text{ m}$. Hỏi tòa nhà đó cao bao nhiêu mét?

Lời giải: Gọi chiều cao của cọc là $h_1 = 2\text{ m}$, bóng của cọc là $s_1 = 1{,}2\text{ m}$. Gọi chiều cao tòa nhà là $h_2$, bóng của tòa nhà là $s_2 = 27\text{ m}$.

Vì các tia nắng mặt trời tại cùng một thời điểm xem như song song với nhau, tam giác vuông tạo bởi cọc và bóng đồng dạng với tam giác vuông tạo bởi tòa nhà và bóng của nó:

$$\frac{h_2}{h_1} = \frac{s_2}{s_1}$$

Thay số vào tỉ số:

$$\frac{h_2}{2} = \frac{27}{1{,}2} \implies h_2 = \frac{2 \cdot 27}{1{,}2} = \frac{54}{1{,}2} = 45\text{ m}$$

Vậy chiều cao của tòa nhà là $45\text{ m}$.