Bài 39: Hình chóp tứ giác đều - lớp 8

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ là hình chóp có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

1. Đặc điểm hình học

• Mặt đáy: Là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ ($AB = BC = CD = DA = a$).

• Mặt bên: Gồm 4 tam giác cân bằng nhau ($\triangle SAB = \triangle SBC = \triangle SCD = \triangle SDA$).

• Cạnh bên: Các cạnh bên bằng nhau ($SA = SB = SC = SD = b$).

• Đường cao: Đoạn thẳng $SO$ hạ từ đỉnh $S$ vuông góc với đáy tại $O$ (với $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$). Độ dài $SO = h$ gọi là chiều cao của hình chóp.

• Trung đoạn: Đường cao kẻ từ đỉnh $S$ đến một cạnh đáy của mặt bên (ví dụ $SI \perp CD$ tại trung điểm $I$ của $CD$) được gọi là trung đoạn (ký hiệu $d$).

2. Công thức tính diện tích và thể tích

• Diện tích xung quanh ($S_{xq}$): Bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

  $$S_{xq} = p \cdot d$$

  (Trong đó: $p = \frac{4a}{2} = 2a$ là nửa chu vi đáy, $d = SI$ là độ dài trung đoạn).

• Diện tích toàn phần ($S_{tp}$): Bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy:

  $$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$$

  (Với đáy là hình vuông cạnh $a$: $S_{\text{đáy}} = a^2$).

• Thể tích ($V$): Bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao:

  $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$$

  (Trong đó: $h = SO$ là chiều cao của hình chóp).

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

1. Khai thác tam giác vuông then chốt $SOI$:

   • Nối tâm đáy $O$ với trung điểm $I$ của cạnh đáy, ta luôn có:

     $$OI = \frac{a}{2}$$

   • Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $SOI$ vuông tại $O$:

     $$d^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \iff SI^2 = SO^2 + OI^2$$

   • Từ hệ thức này:

     • Tính chiều cao khi biết trung đoạn: $h = \sqrt{d^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

     • Tính trung đoạn khi biết chiều cao: $d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

2. Khai thác tam giác vuông chứa cạnh bên ($SOB$ hoặc $SOA$):

   • Nửa đường chéo đáy: $OB = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

   • Quan hệ giữa cạnh bên $b$, chiều cao $h$ và cạnh đáy $a$:

     $$b^2 = h^2 + OB^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$$

3. Khai thác mặt bên cân $\triangle SCD$:

   • Trung đoạn $SI$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến:

     $$d^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (Cơ bản: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần)

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a = 12\text{ cm}$, độ dài trung đoạn $d = 10\text{ cm}$.

1. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

2. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Lời giải:

1. Tính diện tích xung quanh: Chu vi đáy hình vuông là:

$$C_{\text{đáy}} = 4 \cdot a = 4 \cdot 12 = 48\text{ cm}$$

Nửa chu vi đáy là:

$$p = \frac{C_{\text{đáy}}}{2} = \frac{48}{2} = 24\text{ cm}$$

Diện tích xung quanh của hình chóp:

$$S_{xq} = p \cdot d = 24 \cdot 10 = 240\text{ cm}^2$$

2. Tính diện tích toàn phần: Diện tích đáy hình vuông $ABCD$:

$$S_{\text{đáy}} = a^2 = 12^2 = 144\text{ cm}^2$$

Diện tích toàn phần của hình chóp:

$$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 240 + 144 = 384\text{ cm}^2$$

Bài 2 (Tính thể tích khi biết cạnh đáy và trung đoạn)

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a = 16\text{ cm}$ và trung đoạn $d = 17\text{ cm}$. Tính thể tích của khối chóp này.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm đáy hình vuông và $I$ là trung điểm của một cạnh đáy. Khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến trung điểm cạnh đáy là:

$$OI = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$$

Tam giác $SOI$ vuông tại $O$, áp dụng định lý Pythagore tính chiều cao $h = SO$:

$$SO = \sqrt{SI^2 - OI^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\text{ cm}$$

Diện tích đáy hình vuông $ABCD$:

$$S_{\text{đáy}} = a^2 = 16^2 = 256\text{ cm}^2$$

Thể tích của khối chóp:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 256 \cdot 15 = 256 \cdot 5 = 1\,280\text{ cm}^3$$

Bài 3 (Toán thực tế: Kim tự tháp Louvre)

Đề bài: Kim tự tháp kính Louvre (Paris, Pháp) có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy dài $34\text{ m}$ và chiều cao thẳng đứng khoảng $21\text{ m}$.

1. Tính thể tích khối không gian bên trong kim tự tháp.

2. Tính diện tích kính cần dùng để phủ kín 4 mặt bên của kim tự tháp (bỏ qua mép nối và khung kim loại, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

1. Tính thể tích không gian bên trong kim tự tháp: Diện tích đáy hình vuông của kim tự tháp:

$$S_{\text{đáy}} = a^2 = 34^2 = 1\,156\text{ m}^2$$

Thể tích của kim tự tháp:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1\,156 \cdot 21 = 1\,156 \cdot 7 = 8\,092\text{ m}^3$$

2. Tính diện tích kính ở 4 mặt bên: Gọi $O$ là tâm đáy và $I$ là trung điểm một cạnh đáy. Ta có:

$$OI = \frac{a}{2} = \frac{34}{2} = 17\text{ m}$$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông $SOI$ tính trung đoạn $d = SI$:

$$d = \sqrt{SO^2 + OI^2} = \sqrt{21^2 + 17^2} = \sqrt{441 + 289} = \sqrt{730} \approx 27{,}02\text{ m}$$

Nửa chu vi đáy là:

$$p = \frac{4 \cdot 34}{2} = 68\text{ m}$$

Diện tích kính dùng cho 4 mặt bên chính là diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = p \cdot d \approx 68 \cdot 27{,}02 \approx 1\,837{,}36 \approx 1\,837\text{ m}^2$$

Vậy diện tích kính ước tính khoảng $1\,837\text{ m}^2$.