Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng - lớp 8

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tam giác vuông là trường hợp đặc biệt của tam giác. Do luôn có sẵn một góc vuông ($90^\circ$), các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông được tinh gọn và mở rộng thêm một định lý đặc thù.

1. Dấu hiệu suy biến từ tam giác thường

Hai tam giác vuông $\triangle A'B'C'$ (vuông tại $A'$) và $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) đồng dạng với nhau nếu:

• Một góc nhọn bằng nhau: $\widehat{B'} = \widehat{B}$ (hoặc $\widehat{C'} = \widehat{C}$). (Suy từ TH góc - góc)

• Hai cạnh góc vuông tỉ lệ: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC}$. (Suy từ TH cạnh - góc - cạnh)

2. Dấu hiệu đặc trưng: Cạnh huyền và cạnh góc vuông (ch - cgv)

Định lý: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

$$\text{Nếu } \widehat{A'} = \widehat{A} = 90^\circ \quad \text{và} \quad \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'B'}{AB} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \text{ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)}$$

3. Tỉ số đường cao, chu vi và diện tích của hai tam giác đồng dạng

Nếu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k$:

• Tỉ số hai đường cao tương ứng: $\frac{h'}{h} = k$

• Tỉ số hai chu vi tương ứng: $\frac{P_{\triangle A'B'C'}}{P_{\triangle ABC}} = k$

• Tỉ số hai diện tích tương ứng: $\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}} = k^2$ (Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

1. Mô hình tam giác vuông có đường cao hạ từ đỉnh góc vuông:

   • Khi kẻ đường cao $AH$ vuông góc với cạnh huyền $BC$ của $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta luôn tạo ra 3 tam giác vuông đồng dạng với nhau từng đôi một:

     $$\triangle HBA \backsim \triangle ABC \backsim \triangle HAC$$

   • Từ mô hình này, ta suy ra ngay các hệ thức hình học kinh điển:

     • $AB^2 = BH \cdot BC$

     • $AC^2 = CH \cdot BC$

     • $AH^2 = BH \cdot CH$

     • $AB \cdot AC = AH \cdot BC$

2. Áp dụng tỉ số diện tích:

   • Khi biết tỉ số đồng dạng $k$, muốn tính diện tích tam giác kia ta nhân hoặc chia với $k^2$ (chú ý tránh nhầm lẫn nhân với $k$).

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (Trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6\text{ cm}, BC = 10\text{ cm}$. Cho $\triangle DEF$ vuông tại $D$ có $DE = 9\text{ cm}, EF = 15\text{ cm}$. Chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$.

Lời giải: Xét hai tam giác vuông $\triangle ABC$ (tại $A$) và $\triangle DEF$ (tại $D$):

• Cạnh huyền: $BC = 10\text{ cm}$, $EF = 15\text{ cm}$.

• Cạnh góc vuông: $AB = 6\text{ cm}$, $DE = 9\text{ cm}$.

Ta lập tỉ số:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{BC}{EF} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

Do đó:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{2}{3}$$

Suy ra $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ (trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Bài 2 (Mô hình đường cao hạ từ đỉnh góc vuông)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Cho biết $BH = 4\text{ cm}$, $HC = 9\text{ cm}$.

1. Chứng minh $\triangle HBA \backsim \triangle HAC$.

2. Tính độ dài $AH$.

Lời giải:

1. Chứng minh $\triangle HBA \backsim \triangle HAC$: Xét $\triangle HBA$ (vuông tại $H$) và $\triangle HAC$ (vuông tại $H$):

• $\widehat{BHA} = \widehat{AHC} = 90^\circ$.

• Ta có $\widehat{HBA} + \widehat{HAB} = 90^\circ$ (do $\triangle HBA$ vuông tại $H$).

• Lại có $\widehat{HAC} + \widehat{HAB} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.

• Suy ra $\widehat{HBA} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ với $\widehat{HAB}$).

Vậy $\triangle HBA \backsim \triangle HAC$ (g - g).

2. Tính độ dài $AH$: Vì $\triangle HBA \backsim \triangle HAC$, lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng:

$$\frac{HB}{HA} = \frac{HA}{HC} \implies HA^2 = HB \cdot HC$$

Thay số:

$$HA^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies AH = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$$

Bài 3 (Ứng dụng tỉ số diện tích)

Đề bài: Cho $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$ theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$. Biết diện tích tam giác $A'B'C'$ là $45\text{ cm}^2$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải: Theo định lý về tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng:

$$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = k^2$$

Thay số vào hệ thức:

$$\frac{S_{\triangle ABC}}{45} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Suy ra diện tích $\triangle ABC$ là:

$$S_{\triangle ABC} = 45 \cdot \frac{4}{9} = 20\text{ cm}^2$$