Bài 38: Hình chóp tam giác đều - lớp 8

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là hình chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

1. Đặc điểm hình học

• Đáy: Là tam giác đều $ABC$ ($AB = BC = CA = a$).

• Mặt bên: Là các tam giác cân bằng nhau ($\triangle SAB = \triangle SBC = \triangle SCA$).

• Cạnh bên: Các cạnh bên bằng nhau ($SA = SB = SC$).

• Đường cao: Đoạn thẳng $SO$ nối từ đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy tại $O$ (với $O$ là trọng tâm, đồng thời là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy $ABC$). Độ dài $SO = h$ gọi là chiều cao của hình chóp.

• Trung đoạn: Đường cao kẻ từ đỉnh $S$ đến cạnh đáy của một mặt bên (ví dụ $SM \perp BC$) được gọi là trung đoạn (ký hiệu $d$).

2. Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích

• Diện tích xung quanh ($S_{xq}$): Bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

  $$S_{xq} = p \cdot d$$

  (Trong đó: $p = \frac{C_{\text{đáy}}}{2} = \frac{3a}{2}$ là nửa chu vi đáy, $d$ là độ dài trung đoạn).

• Diện tích toàn phần ($S_{tp}$): Bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy:

  $$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$$

  (Với đáy là tam giác đều cạnh $a$: $S_{\text{đáy}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$).

• Thể tích ($V$): Bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao:

  $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h$$

  (Trong đó: $S_{\text{đáy}}$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao $SO$).

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

1. Phân biệt rõ ràng giữa chiều cao ($h$) và trung đoạn ($d$):

   • Chiều cao $h = SO$ (đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy).

   • Trung đoạn $d = SM$ (đường cao của mặt bên tam giác cân $SBC$).

   • Mối liên hệ Pythagore trong tam giác vuông $SOM$:

     $$SM^2 = SO^2 + OM^2 \iff d^2 = h^2 + r_{\text{nội}}^2$$

     (Với tam giác đều cạnh $a$, bán kính đường tròn nội tiếp là $OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$).

2. Tính toán trên tam giác mặt bên:

   • Trong tam giác cân $SBC$ có cạnh bên $b$ và cạnh đáy $a$:

     $$d^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

3. Quy đổi linh hoạt giữa chu vi đáy và diện tích xung quanh:

   • Có thể tính nhanh diện tích xung quanh bằng tổng diện tích của 3 tam giác cân mặt bên:

     $$S_{xq} = 3 \cdot S_{\triangle SBC} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot d\right)$$

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần)

Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy $a = 6\text{ cm}$, độ dài trung đoạn $d = 8\text{ cm}$.

1. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

2. Tính diện tích toàn phần của hình chóp (lấy $\sqrt{3} \approx 1{,}73$).

Lời giải:

1. Tính diện tích xung quanh: Nửa chu vi đáy của hình chóp là:

$$p = \frac{3 \cdot a}{2} = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\text{ cm}$$

Diện tích xung quanh của hình chóp:

$$S_{xq} = p \cdot d = 9 \cdot 8 = 72\text{ cm}^2$$

2. Tính diện tích toàn phần: Đáy $ABC$ là tam giác đều có cạnh $a = 6\text{ cm}$, diện tích đáy là:

$$S_{\text{đáy}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 9 \cdot 1{,}73 = 15{,}57\text{ cm}^2$$

Diện tích toàn phần của hình chóp:

$$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} \approx 72 + 15{,}57 = 87{,}57\text{ cm}^2$$

Bài 2 (Tính thể tích hình chóp tam giác đều)

Đề bài: Một khối gỗ có dạng hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $10\text{ cm}$, chiều cao của khối gỗ là $12\text{ cm}$. Tính thể tích của khối gỗ đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất, lấy $\sqrt{3} \approx 1{,}732$).

Lời giải:

Diện tích đáy của khối gỗ hình chóp tam giác đều là:

$$S_{\text{đáy}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\text{ cm}^2$$

Thể tích của khối gỗ là:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 12 = 100\sqrt{3} \approx 100 \cdot 1{,}732 = 173{,}2\text{ cm}^3$$

Bài 3 (Bài toán thực tế: Hộp quà hình chóp)

Đề bài: Một hộp quà lưu niệm có dạng hình chóp tam giác đều với tất cả các cạnh (cả cạnh đáy lẫn cạnh bên) đều bằng $10\text{ cm}$.

1. Tính độ dài trung đoạn của hộp quà.

2. Người ta muốn bọc giấy màu toàn bộ các mặt xung quanh của hộp quà. Tính diện tích giấy màu cần dùng (bỏ qua mép dán, làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:

1. Tính độ dài trung đoạn: Xét mặt bên $SBC$. Vì tất cả các cạnh đều bằng $10\text{ cm}$ nên $\triangle SBC$ là tam giác đều cạnh $10\text{ cm}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, ta có $BM = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$. Đoạn thẳng $SM$ chính là trung đoạn $d$ của hình chóp. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $SMB$:

$$d = SM = \sqrt{SB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\text{ cm}$$

2. Tính diện tích giấy màu cần dùng: Diện tích giấy màu cần dùng để bọc xung quanh chính là diện tích xung quanh của hình chóp:

$$S_{xq} = p \cdot d = \left(\frac{3 \cdot 10}{2}\right) \cdot 5\sqrt{3} = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \approx 129{,}9 \approx 130\text{ cm}^2$$

Vậy diện tích giấy màu cần dùng khoảng $130\text{ cm}^2$.