Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn - lớp 8

1. Khái niệm phương trình một ẩn

• Một phương trình với ẩn $x$ có dạng:

  $$A(x) = B(x)$$

  trong đó vế trái $A(x)$ và vế phải $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến $x$.

• Số $x_0$ gọi là nghiệm của phương trình $A(x) = B(x)$ nếu khi thay $x = x_0$ vào phương trình, ta được một đẳng thức số đúng: $A(x_0) = B(x_0)$.

• Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó, thường kí hiệu là $S$.

  • Nếu phương trình không có nghiệm nào, ta nói phương trình vô nghiệm ($S = \varnothing$).

  • Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm (kí hiệu là $\Leftrightarrow$).

2. Phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:

$$ax + b = 0$$

trong đó $a, b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$.

Ví dụ:

• $2x - 6 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn ($a = 2, b = -6$).
• $5 - \frac{1}{2}x = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn ($a = -\frac{1}{2}, b = 5$).
• $0x + 3 = 0$ không phải phương trình bậc nhất một ẩn (vì $a = 0$).
• $x^2 - 4 = 0$ không phải phương trình bậc nhất một ẩn (vì ẩn $x$ có bậc 2).

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải phương trình bậc nhất một ẩn, ta dùng hai quy tắc biến đổi tương đương cơ bản:

1. Quy tắc chuyển vế:

   Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

   $$ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$$

2. Quy tắc nhân với một số (hoặc chia cho một số khác 0):

   Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác $0$.

   $$ax = -b \Leftrightarrow x = \frac{-b}{a}$$

Kết luận tổng quát:

Phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ ($a \neq 0$) luôn có một nghiệm duy nhất:

$$x = -\frac{b}{a}$$

Tập nghiệm: $S = \left\{-\frac{b}{a}\right\}$.

4. Phương trình đưa được về dạng $ax + b = 0$

Nhiều phương trình chưa có dạng $ax + b = 0$ nhưng sau khi biến đổi ta có thể đưa về dạng này:

1. Bỏ dấu ngoặc: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức/đa thức và quy tắc dấu ngoặc để phá ngoặc.
2. Quy đồng và khử mẫu: Nếu phương trình chứa mẫu số là các số cụ thể, tìm mẫu chung rồi nhân cả hai vế với mẫu chung để khử mẫu.
3. Chuyển vế và thu gọn: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế (thường là vế trái), các hằng số sang vế còn lại, thu gọn về dạng $ax = c$ rồi tìm $x$.

5. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Giải các phương trình bậc nhất cơ bản

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $3x - 12 = 0$

b) $5 - 2x = 9$

c) $\frac{2}{3}x + 4 = 0$

Lời giải:

a) $3x - 12 = 0 \Leftrightarrow 3x = 12 \Leftrightarrow x = \frac{12}{3} \Leftrightarrow x = 4$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{4\}$.

b) $5 - 2x = 9 \Leftrightarrow -2x = 9 - 5 \Leftrightarrow -2x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{4}{-2} \Leftrightarrow x = -2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-2\}$.

c) $\frac{2}{3}x + 4 = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3}x = -4 \Leftrightarrow x = -4 : \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = -4 \cdot \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = -6$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-6\}$.

Ví dụ 2: Phương trình chứa dấu ngoặc

Đề bài: Giải phương trình: $4(x - 3) - 3(x + 1) = 2x - 5$.

Lời giải:

Thực hiện nhân phá ngoặc ở vế trái:

$$4x - 12 - 3x - 3 = 2x - 5$$

Thu gọn vế trái:

$$x - 15 = 2x - 5$$

Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hằng số sang vế phải:

$$x - 2x = -5 + 15$$

$$-x = 10 \Leftrightarrow x = -10$$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{-10\}$.

Ví dụ 3: Phương trình có mẫu là các số nguyên

Đề bài: Giải phương trình: $\frac{x + 2}{4} - \frac{2x - 1}{3} = \frac{x - 3}{6} + 1$.

Lời giải:

Mẫu chung của $4, 3, 6$ là $12$. Quy đồng mẫu hai vế:

$$\frac{3(x + 2)}{12} - \frac{4(2x - 1)}{12} = \frac{2(x - 3)}{12} + \frac{12}{12}$$

Nhân cả hai vế với $12$ để khử mẫu:

$$3(x + 2) - 4(2x - 1) = 2(x - 3) + 12$$

Bỏ dấu ngoặc:

$$3x + 6 - 8x + 4 = 2x - 6 + 12$$

Thu gọn hai vế:

$$-5x + 10 = 2x + 6$$

Chuyển vế:

$$-5x - 2x = 6 - 10$$

$$-7x = -4 \Leftrightarrow x = \frac{-4}{-7} \Leftrightarrow x = \frac{4}{7}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\frac{4}{7}\right\}$.

Ví dụ 4: Vận dụng thực tế

Đề bài: Một công ty vận tải tính giá cước taxi gồm: giá mở cửa là $10\,000$ đồng (cho $0,5\text{ km}$ đầu tiên), sau đó mỗi kilômét tiếp theo tính giá $14\,000$ đồng. Bác Nam đi một chuyến taxi hết tổng cộng $150\,000$ đồng. Gọi quãng đường bác Nam đã đi sau $0,5\text{ km}$ đầu tiên là $x$ (km).

a) Lập phương trình bậc nhất một ẩn biểu thị số tiền bác Nam phải trả.

b) Tính tổng quãng đường bác Nam đã đi trên chuyến taxi đó.

Lời giải:

a) Số tiền bác Nam trả sau $0,5\text{ km}$ đầu tiên là $14\,000 \cdot x$ (đồng).

Tổng số tiền cước là $150\,000$ đồng, ta có phương trình:

$$10\,000 + 14\,000x = 150\,000$$

b) Giải phương trình:

$$14\,000x = 150\,000 - 10\,000$$

$$14\,000x = 140\,000 \Leftrightarrow x = \frac{140\,000}{14\,000} = 10\text{ (km)}$$

Tổng quãng đường bác Nam đã đi là:

$$0,5 + 10 = 10,5\text{ (km)}$$

Vậy bác Nam đã đi quãng đường dài $10,5\text{ km}$.