Ôn tập Chương 8: Mở đầu về tính xác suất của biến cố - lớp 8

I. Kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm cơ bản:

   • Kết quả có thể: Tập hợp tất cả các trường hợp có khả năng xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên.

   • Kết quả thuận lợi: Các kết quả làm cho biến cố $E$ xảy ra.

   • Kết quả đồng khả năng: Các kết quả có khả năng xuất hiện ngang nhau do tính đối xứng, ngẫu nhiên hoặc đồng chất của phép thử.

2. Công thức tính xác suất bằng tỉ số: Nếu một phép thử có $n$ kết quả có thể và đồng khả năng, trong đó có $k$ kết quả thuận lợi cho biến cố $E$, thì xác suất của biến cố $E$ là:

   $$P(E) = \frac{k}{n} = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho } E}{\text{Tổng số kết quả có thể}}$$

3. Tính chất:

   • Với mọi biến cố $E$: $0 \le P(E) \le 1$.

   • Biến cố không thể có xác suất bằng $0$.

   • Biến cố chắc chắn có xác suất bằng $1$.

   • Hai biến cố đối nhau $E$ và $\overline{E}$ thỏa mãn: $P(E) + P(\overline{E}) = 1 \Rightarrow P(E) = 1 - P(\overline{E})$.

II. Kĩ năng giải toán

1. Quy tắc tổ chức dữ liệu & đếm hệ thống:

   • Mô hình chọn 1 phần tử từ tập $N$ phần tử: Tổng số kết quả có thể luôn là $n = N$.

   • Mô hình chọn cặp/nhiều bước (gieo 2 lần, rút 2 vật đồng thời):

     • Phép thử có thứ tự (gieo xúc xắc 2 lần, tung đồng xu 2 lần): Lập bảng ô vuông hai chiều hoặc sơ đồ cây.

     • Phép thử không tính thứ tự (chọn ngẫu nhiên 2 vật cùng lúc từ nhóm): Ghép cặp lần lượt theo thứ tự cố định để không bị tính trùng hai lần $(A, B)$ và $(B, A)$.

2. Kĩ năng dịch ngôn ngữ biến cố sang điều kiện số học:

   • "Chia hết cho cả $a$ và $b$" $\rightarrow$ chia hết cho $\text{BCNN}(a, b)$.

   • "Số nguyên tố", "Số chính phương", "Số ước số": Rà soát theo danh sách định nghĩa chuẩn.

   • "Có ít nhất...", "Không có...": Ưu tiên tính qua biến cố đối để giảm số trường hợp cần đếm.

III. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1. Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối một lần. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là hợp số bằng:

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2}{3}$

Câu 2. Chọn ngẫu nhiên một chữ cái trong cụm từ "TOAN HOC". Xác suất chọn được chữ cái "O" là:

A. $\frac{1}{7}$

B. $\frac{2}{7}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{2}{5}$

Câu 3. Một hộp có 12 quả bóng bàn cùng kích thước, gồm 5 quả màu trắng và 7 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Xác suất lấy được quả bóng màu trắng là:

A. $\frac{5}{12}$

B. $\frac{7}{12}$

C. $\frac{5}{7}$

D. $\frac{1}{12}$

IV. Bài tập tự luận rèn luyện

Bài 1. Một hộp đựng 25 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ $1$ đến $25$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $A$: "Số ghi trên thẻ là số chia hết cho cả 2 và 3".

b) $B$: "Số ghi trên thẻ là số có hai chữ số và tổng các chữ số bằng 5".

c) $C$: "Số ghi trên thẻ là số chia hết cho 7 hoặc chia hết cho 11".

Lời giải:

Tổng số kết quả có thể là $n = 25$ (đồng khả năng).

a) Số chia hết cho cả 2 và 3 là số chia hết cho 6. Các số đó từ 1 đến 25 là: $\{6; 12; 18; 24\} \Rightarrow k = 4$.

$$P(A) = \frac{4}{25}$$

b) Các số có hai chữ số từ 1 đến 25 là từ 10 đến 25. Các số có tổng các chữ số bằng 5 là: $14$ ($1 + 4 = 5$) và $23$ ($2 + 3 = 5$) $\Rightarrow k = 2$.

$$P(B) = \frac{2}{25}$$

c) Các số chia hết cho 7 là: $\{7; 14; 21\}$ (3 số).

Các số chia hết cho 11 là: $\{11; 22\}$ (2 số).

Vì không có số nào đồng thời chia hết cho cả 7 và 11 trong khoảng từ 1 đến 25, nên số kết quả thuận lợi là $k = 3 + 2 = 5$.

$$P(C) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$$

Bài 2. Gieo đồng thời hai con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất.

a) Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra của phép thử?

b) Tính xác suất của biến cố $E$: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8".

c) Tính xác suất của biến cố $F$: "Hai con xúc xắc xuất hiện số chấm giống nhau".

Lời giải:

a) Mỗi con xúc xắc có 6 khả năng xuất hiện.

Khi gieo đồng thời 2 con xúc xắc, tổng số kết quả có thể xảy ra là:

$$n = 6 \cdot 6 = 36$$

b) Kí hiệu cặp kết quả là $(x, y)$ với $x, y \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Để tổng $x + y = 8$, các kết quả thuận lợi cho $E$ là:

$$(2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2)$$

Số kết quả thuận lợi là $k = 5$.

$$P(E) = \frac{5}{36}$$

c) Để hai con xúc xắc có số chấm giống nhau ($x = y$), các kết quả thuận lợi cho $F$ là:

$$(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)$$

Số kết quả thuận lợi là $k = 6$.

$$P(F) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Bài 3. Một lớp học gồm 40 học sinh, trong đó có 24 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một ban cán sự gồm 2 học sinh đại diện cho lớp đi dự hội nghị.

a) Tính số kết quả có thể khi chọn đồng thời 2 học sinh từ 40 học sinh của lớp.

b) Tính xác suất để chọn được 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ.

Lời giải:

a) Số cách chọn học sinh thứ nhất là 40 cách, số cách chọn học sinh thứ hai là 39 cách.

Vì không phân biệt thứ tự chọn nên tổng số kết quả có thể là:

$$n = \frac{40 \cdot 39}{2} = 780$$

b) Gọi $M$ là biến cố "Chọn được 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ".

• Số cách chọn 1 học sinh nam từ 24 học sinh nam là: 24 cách.

• Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 16 học sinh nữ là: 16 cách.

  Số kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ là:

  $$k = 24 \cdot 16 = 384$$

  Xác suất của biến cố $M$ là:

  $$P(M) = \frac{384}{780} = \frac{32}{65}$$

Đáp án trắc nghiệm

• Câu 1: B (Các số chấm là hợp số từ 1 đến 6 là $\{4; 6\} \Rightarrow k = 2 \Rightarrow P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$).

• Câu 2: B (Cụm từ "TOAN HOC" có 7 chữ cái gồm T, O, A, N, H, O, C; trong đó có 2 chữ O $\Rightarrow P = \frac{2}{7}$).

• Câu 3: A ($n = 12$, số bóng trắng $k = 5 \Rightarrow P = \frac{5}{12}$).