Ôn tập Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất - lớp 8

Phần 1. Tóm tắt kiến thức cốt lõi

1. Phương trình bậc nhất một ẩn

• Dạng tổng quát: $ax + b = 0$ ($a, b \in \mathbb{R}$ và $a \neq 0$).

• Nghiệm duy nhất: $x = -\frac{b}{a}$.

• Hai quy tắc biến đổi tương đương:

  • Quy tắc chuyển vế: Đổi dấu hạng tử khi chuyển từ vế này sang vế kia ($ax = -b$).

  • Quy tắc nhân/chia hai vế với một số khác $0$ ($x = -\frac{b}{a}$).

• 3 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

  1. Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp; biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn; lập phương trình.

  2. Giải phương trình.

  3. Trả lời: Kiểm tra nghiệm với điều kiện và kết luận.

2. Hàm số bậc nhất và đồ thị

• Dạng hàm số bậc nhất: $y = ax + b$ ($a \neq 0$).

• Đồ thị: Là một đường thẳng:

  • Cắt trục tung $Oy$ tại điểm $A(0; b)$ (tung độ gốc $b$).

  • Cắt trục hoành $Ox$ tại điểm $B\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$.

• Hệ số góc $a$:

  • $a > 0$: Góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng và tia $Ox$ là góc nhọn ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).

  • $a < 0$: Góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng và tia $Ox$ là góc tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: y = a_1x + b_1$ và $d_2: y = a_2x + b_2$ ($a_1, a_2 \neq 0$):

  • $d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow a_1 = a_2$ và $b_1 \neq b_2$.

  • $d_1 \equiv d_2 \Leftrightarrow a_1 = a_2$ và $b_1 = b_2$.

  • $d_1$ cắt $d_2 \Leftrightarrow a_1 \neq a_2$.

  • (Mở rộng) $d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow a_1 \cdot a_2 = -1$.

Phần 2. Trắc nghiệm khách quan

Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

A. $2x^2 - 1 = 0$

B. $0x + 5 = 0$

C. $\frac{2}{x} - 3 = 0$

D. $3 - 4x = 0$

Câu 2. Nghiệm của phương trình $5x - 15 = 0$ là:

A. $x = 3$

B. $x = -3$

C. $x = \frac{1}{3}$

D. $x = 10$

Câu 3. Cho hàm số $y = f(x) = -2x + 3$. Giá trị của $f(-1)$ bằng:

A. $1$

B. $5$

C. $-1$

D. $-5$

Câu 4. Đường thẳng $y = -3x + 6$ cắt trục hoành tại điểm có tọa độ là:

A. $(0; 6)$

B. $(6; 0)$

C. $(2; 0)$

D. $(-2; 0)$

Câu 5. Hệ số góc của đường thẳng $y = \frac{5 - 2x}{3}$ là:

A. $5$

B. $-2$

C. $\frac{5}{3}$

D. $-\frac{2}{3}$

Câu 6. Hai đường thẳng $d_1: y = (m - 1)x + 2$ ($m \neq 1$) và $d_2: y = 3x - 1$ song song với nhau khi:

A. $m = 4$

B. $m = 3$

C. $m = 2$

D. $m = -2$

Phần 3. Tự luận rèn luyện kĩ năng

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất và phương trình quy về bậc nhất

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $3(x - 2) - 2(x + 1) = 4 - 3x$

b) $\frac{x + 1}{3} - \frac{2x - 3}{4} = \frac{x + 7}{12}$

c) $\frac{x - 1}{2025} + \frac{x - 2}{2024} = \frac{x - 3}{2023} + \frac{x - 4}{2022}$ (Phương trình nâng cao tách hạng tử)

Dạng 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 2 (Toán chuyển động). Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc $40\text{ km/h}$. Khi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm $10\text{ km/h}$ nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $30$ phút. Tính chiều dài quãng đường AB.

Bài 3 (Toán năng suất - thực tế). Một xưởng theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất $50$ sản phẩm. Thực tế, nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng đã làm được $60$ sản phẩm, vì thế không những xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn $2$ ngày mà còn làm thêm được $20$ sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm xưởng phải làm theo kế hoạch.

Dạng 3: Hàm số bậc nhất, đồ thị và hệ số góc

Bài 4. Cho hai hàm số bậc nhất: $d_1: y = 2x - 2$ và $d_2: y = -x + 4$.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

b) Tìm tọa độ giao điểm $C$ của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng phương pháp đại số.

c) Gọi $A$ và $B$ lần lượt là giao điểm của $d_1$ và $d_2$ với trục hoành $Ox$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Mã nguồn SVG đồ thị bài toán (Tỉ lệ chuẩn $1\text{ đơn vị} = 40\text{px}$, Gốc $O$ đặt tại $(120; 220)$)

Dạng 4: Bài toán chứa tham số $m$

Bài 5. Cho đường thẳng $d: y = (m - 2)x + m + 1$ ($m \neq 2$).

1. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$.
2. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $y = 3x - 5$.
3. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó.

Phần 4. Hướng dẫn giải chi tiết

Đáp án trắc nghiệm

• Câu 1: D ($3 - 4x = 0 \Leftrightarrow -4x + 3 = 0$ có $a = -4 \neq 0$).
• Câu 2: A ($5x = 15 \Leftrightarrow x = 3$).
• Câu 3: B ($f(-1) = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$).
• Câu 4: C ($y = 0 \Rightarrow -3x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow (2; 0)$).
• Câu 5: D ($y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \Rightarrow$ hệ số góc $a = -\frac{2}{3}$).
• Câu 6: A ($m - 1 = 3 \Leftrightarrow m = 4$ và $2 \neq -1$).

Hướng dẫn tự luận

Bài 1.

a) Phá ngoặc và thu gọn:

$$3x - 6 - 2x - 2 = 4 - 3x$$

$$x - 8 = 4 - 3x \Leftrightarrow 4x = 12 \Leftrightarrow x = 3$$

Vậy tập nghiệm $S = \{3\}$.

b) Nhân hai vế với Mẫu chung là $12$:

$$4(x + 1) - 3(2x - 3) = x + 7$$

$$4x + 4 - 6x + 9 = x + 7$$

$$-2x + 13 = x + 7 \Leftrightarrow -3x = -6 \Leftrightarrow x = 2$$

Vậy tập nghiệm $S = \{2\}$.

c) Trừ $1$ vào mỗi phân thức ở cả hai vế:

$$\left(\frac{x - 1}{2025} - 1\right) + \left(\frac{x - 2}{2024} - 1\right) = \left(\frac{x - 3}{2023} - 1\right) + \left(\frac{x - 4}{2022} - 1\right)$$

$$\frac{x - 2026}{2025} + \frac{x - 2026}{2024} - \frac{x - 2026}{2023} - \frac{x - 2026}{2022} = 0$$

$$(x - 2026)\left(\frac{1}{2025} + \frac{1}{2024} - \frac{1}{2023} - \frac{1}{2022}\right) = 0$$

Vì biểu thức trong ngoặc thứ hai khác $0$, nên:

$$x - 2026 = 0 \Leftrightarrow x = 2026$$

Vậy $S = \{2026\}$.

Bài 2.

Đổi $30\text{ phút} = \frac{1}{2}\text{ giờ}$.

Gọi chiều dài quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện: $x > 0$.

• Vận tốc lúc đi: $40\text{ km/h} \Rightarrow$ Thời gian đi: $\frac{x}{40}$ (giờ).

• Vận tốc lúc về: $40 + 10 = 50\text{ km/h} \Rightarrow$ Thời gian về: $\frac{x}{50}$ (giờ).

  Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là $\frac{1}{2}$ giờ, ta có phương trình:

  $$\frac{x}{40} - \frac{x}{50} = \frac{1}{2}$$

  Nhân hai vế với mẫu chung $200$:

  $$5x - 4x = 100 \Leftrightarrow x = 100\text{ (thỏa mãn)}$$

  Vậy chiều dài quãng đường AB là $100\text{ km}$.

Bài 3.

Gọi số ngày xưởng dự định làm theo kế hoạch là $x$ (ngày). Điều kiện: $x > 2, x \in \mathbb{N}^*$.

• Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch: $50x$ (sản phẩm).

• Số ngày thực tế làm việc: $x - 2$ (ngày).

• Số sản phẩm thực tế làm được: $60(x - 2)$ (sản phẩm).

  Vì thực tế xưởng làm vượt mức $20$ sản phẩm nên ta có phương trình:

  $$60(x - 2) - 50x = 20$$

  $$60x - 120 - 50x = 20 \Leftrightarrow 10x = 140 \Leftrightarrow x = 14\text{ (thỏa mãn)}$$

  Số sản phẩm xưởng phải làm theo kế hoạch: $50 \cdot 14 = 700$ (sản phẩm).

Bài 4.

a)

• Vẽ $d_1: y = 2x - 2$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = -2$; cho $y = 0 \Rightarrow x = 1$. Đường thẳng $d_1$ qua $(0; -2)$ và $A(1; 0)$.
• Vẽ $d_2: y = -x + 4$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 4$; cho $y = 0 \Rightarrow x = 4$. Đường thẳng $d_2$ qua $(0; 4)$ và $B(4; 0)$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$:

$$2x - 2 = -x + 4 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2$$

Thay $x = 2$ vào $y = 2x - 2 \Rightarrow y = 2(2) - 2 = 2$.

Vậy tọa độ giao điểm là $C(2; 2)$.

c)

• Giao điểm với trục hoành: $A(1; 0)$ và $B(4; 0) \Rightarrow AB = \vert{}4 - 1\vert{} = 3$.
• Điểm $C(2; 2)$ có tung độ $y_C = 2$, suy ra khoảng cách từ $C$ đến trục hoành (chiều cao $CH$ của tam giác $ABC$) là $h = \vert{}y_C\vert{} = 2$.
• Diện tích tam giác $ABC$:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\text{ (đơn vị diện tích)}$$

Bài 5.

1. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0) \Leftrightarrow 0 = (m - 2) \cdot 0 + m + 1 \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -1$ (thỏa mãn $m \neq 2$).
2. $d \parallel (y = 3x - 5) \Leftrightarrow \begin{cases} m - 2 = 3 \\ m + 1 \neq -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 5 \\ m \neq -6 \end{cases} \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa mãn $m \neq 2$).
3. Gọi điểm cố định là $M(x_0; y_0)$. Tọa độ $M$ thỏa mãn phương trình với mọi $m$:

$$y_0 = (m - 2)x_0 + m + 1 \quad \forall m \neq 2$$

$$m(x_0 + 1) - (2x_0 + y_0 - 1) = 0 \quad \forall m$$

Đẳng thức xảy ra với mọi $m$ khi và chỉ khi:

$$\begin{cases} x_0 + 1 = 0 \\ 2x_0 + y_0 - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_0 = -1 \\ 2(-1) + y_0 - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_0 = -1 \\ y_0 = 3 \end{cases}$$

Vậy đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm cố định $M(-1; 3)$ với mọi giá trị của $m \neq 2$.