Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số - lớp 8

1. Tính chất cơ bản của phân thức

Với phân thức $\frac{A}{B}$ ($B \neq 0$):

1. Nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0:

   Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức $0$ thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

   $$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} \quad (M \text{ là một đa thức khác } 0)$$

2. Chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung:

   Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

   $$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N} \quad (N \text{ là một nhân tử chung của } A \text{ và } B)$$

2. Quy tắc đổi dấu

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$$\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$$

Áp dụng đổi dấu ở tử hoặc mẫu:

$$\frac{-A}{B} = -\frac{A}{B} = \frac{A}{-B}$$

Lưu ý khi đổi dấu đa thức: $A - B = -(B - A)$.

3. Rút gọn phân thức

Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó nhưng đơn giản hơn.

Các bước rút gọn phân thức:

1. Phân tích: Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
2. Chia: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Chú ý: Phân thức sau khi rút gọn mà tử và mẫu không còn nhân tử chung nào khác ngoài $\pm 1$ được gọi là phân thức tối giản.

4. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho ban đầu.

Các bước tìm mẫu thức chung (MTC):

1. Phân tích mẫu thức của từng phân thức thành nhân tử.
2. Chọn MTC:
   • Hệ số: Là BCNN của các hệ số nguyên dương của các mẫu thức.
   • Phần biến / Lũy thừa: Chọn mỗi thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất.

Các bước quy đồng:

1. Tìm MTC.
2. Tìm nhân tử phụ của từng phân thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức của phân thức đó.
3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

5. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức đại số

Đề bài: Rút gọn các phân thức sau:

• $P = \frac{6x^2y^3}{8xy^4}$
• $Q = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$
• $R = \frac{2 - x}{x^2 - 4}$

Lời giải:

a) Nhân tử chung của cả tử và mẫu là $2xy^3$:

$$P = \frac{6x^2y^3 : 2xy^3}{8xy^4 : 2xy^3} = \frac{3x}{4y}$$

b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử:

• Tử thức: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
• Mẫu thức: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $(x + 2)$:

$$Q = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x - 2}{x + 2}$$

c) Áp dụng quy tắc đổi dấu ở tử: $2 - x = -(x - 2)$:

$$R = \frac{-(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-1}{x + 2} = -\frac{1}{x + 2}$$

Ví dụ 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức

Đề bài: Quy đồng mẫu thức hai phân thức sau:

$$A = \frac{1}{x^2 - 2x} \quad \text{và} \quad B = \frac{2}{x^2 - 4}$$

Lời giải:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

• $x^2 - 2x = x(x - 2)$

• $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

  $\Rightarrow$ Mẫu thức chung (MTC): $x(x - 2)(x + 2)$.

Bước 2: Tìm nhân tử phụ:

• Nhân tử phụ của mẫu thức thứ nhất: $[x(x - 2)(x + 2)] : [x(x - 2)] = x + 2$

• Nhân tử phụ của mẫu thức thứ hai: $[x(x - 2)(x + 2)] : [(x - 2)(x + 2)] = x$

Bước 3: Quy đồng:

$$A = \frac{1}{x(x - 2)} = \frac{1 \cdot (x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 2}{x(x - 2)(x + 2)}$$

$$B = \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2 \cdot x}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x}{x(x - 2)(x + 2)}$$

Ví dụ 3: Chứng minh phân thức tối giản (Vận dụng nâng cao)

Đề bài: Chứng minh rằng phân thức sau luôn tối giản với mọi số tự nhiên $n$:

$$M = \frac{2n + 1}{2n + 2}$$

Lời giải:

Gọi $d$ là ước chung của tử thức $(2n + 1)$ và mẫu thức $(2n + 2)$ với $d \in \mathbb{N}^*$.

Ta có:

$$(2n + 1) \ \vdots \ d \quad \text{và} \quad (2n + 2) \ \vdots \ d$$

Suy ra hiệu của chúng cũng chia hết cho $d$:

$$[(2n + 2) - (2n + 1)] \ \vdots \ d \Rightarrow 1 \ \vdots \ d$$

Vì $d \in \mathbb{N}^*$ nên $d = 1$.

Ước chung duy nhất của tử và mẫu là $1$, do đó phân thức $M$ là phân thức tối giản với mọi $n \in \mathbb{N}$.