Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số - lớp 8

1. Phép nhân phân thức đại số

Quy tắc nhân hai phân thức

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau:

$$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$$

Chú ý: Sau khi nhân, cần phân tích kết quả thành nhân tử để rút gọn phân thức về dạng tối giản.

Tính chất của phép nhân phân thức

Tương tự phép nhân phân số, phép nhân phân thức có các tính chất:

• Giao hoán: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}$
• Kết hợp: $\left(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}\right) \cdot \frac{E}{F} = \frac{A}{B} \cdot \left(\frac{C}{D} \cdot \frac{E}{F}\right)$
• Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B} \left(\frac{C}{D} + \frac{E}{F}\right) = \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} + \frac{A}{B} \cdot \frac{E}{F}$
• Nhân với số 1: $\frac{A}{B} \cdot 1 = \frac{A}{B}$

2. Phân thức nghịch đảo và phép chia phân thức đại số

Phân thức nghịch đảo

• Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng $1$.
• Với phân thức $\frac{A}{B} \neq 0$ (tức cả $A \neq 0$ và $B \neq 0$), phân thức nghịch đảo của $\frac{A}{B}$ là $\frac{B}{A}$.

Quy tắc chia hai phân thức

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác $0$, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$:

$$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} \quad \left(\text{với } \frac{C}{D} \neq 0\right)$$

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân phân thức

Đề bài: Thực hiện các phép tính:

a) $P = \frac{15x^2}{4y^3} \cdot \frac{2y}{5x}$

b) $Q = \frac{x^2 - 4}{x + 3} \cdot \frac{2x + 6}{(x - 2)^2}$

Lời giải:

a) Nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn:

$$P = \frac{15x^2 \cdot 2y}{4y^3 \cdot 5x} = \frac{30x^2y}{20xy^3} = \frac{3x}{2y^2}$$

b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử trước khi nhân:

$$Q = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{2(x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2(x - 2)(x + 2)(x + 3)}{(x + 3)(x - 2)^2} = \frac{2(x + 2)}{x - 2}$$

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia phân thức

Đề bài: Thực hiện phép tính:

$$M = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 4x} : \frac{x - 3}{x + 4}$$

Lời giải:

Chuyển phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo:

$$\begin{aligned} M &= \frac{x^2 - 9}{x(x + 4)} \cdot \frac{x + 4}{x - 3} \\ &= \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 4)}{x(x + 4)(x - 3)} \\ &= \frac{x + 3}{x} \end{aligned}$$

Ví dụ 3: Thực hiện dãy phép tính kết hợp rút gọn

Đề bài: Thực hiện phép tính:

$$A = \left(\frac{x}{x^2 - 4} + \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}\right) : \left(1 - \frac{x}{x + 2}\right)$$

Lời giải:

Bước 1: Rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ nhất (quy đồng mẫu thức chung là $(x - 2)(x + 2)$):

$$\begin{aligned} B &= \frac{x + 2(x + 2) + 1(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \frac{x + 2x + 4 + x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \frac{4x + 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2(2x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} \end{aligned}$$

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ hai:

$$C = 1 - \frac{x}{x + 2} = \frac{x + 2 - x}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$$

Bước 3: Thực hiện phép chia $A = B : C$:

$$A = \frac{2(2x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} : \frac{2}{x + 2} = \frac{2(2x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{2} = \frac{2x + 1}{x - 2}$$

Ví dụ 4: Vận dụng thực tế

Đề bài: Một xe ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với quãng đường dài $s$ (km) và vận tốc $v$ (km/h). Khi về từ B về A, xe tăng vận tốc thêm $10\text{ km/h}$.

a) Lập biểu thức tính thời gian đi $t_1$ và thời gian về $t_2$.

b) Tính tỉ số giữa thời gian về và thời gian đi $\frac{t_2}{t_1}$.

Lời giải:

a) Biểu thức thời gian:

• Thời gian đi: $t_1 = \frac{s}{v}$ (giờ).
• Vận tốc khi về là $v + 10$ (km/h), do đó thời gian về là: $t_2 = \frac{s}{v + 10}$ (giờ).

b) Tỉ số giữa thời gian về và thời gian đi là:

$$\frac{t_2}{t_1} = \frac{s}{v + 10} : \frac{s}{v} = \frac{s}{v + 10} \cdot \frac{v}{s} = \frac{v}{v + 10}$$