Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác - lớp 8

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hai tam giác $\triangle A'B'C'$ và $\triangle ABC$ đồng dạng với nhau (ký hiệu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$) khi các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ:

$$\widehat{A'} = \widehat{A}, \quad \widehat{B'} = \widehat{B}, \quad \widehat{C'} = \widehat{C} \quad \text{và} \quad \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = k \quad (k \text{ là tỉ số đồng dạng})$$

1. Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c - c - c)

Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

$$\text{Xét } \triangle A'B'C' \text{ và } \triangle ABC: \quad \text{Nếu } \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \text{ (c - c - c)}$$

2. Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c - g - c)

Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

$$\text{Xét } \triangle A'B'C' \text{ và } \triangle ABC: \quad \text{Nếu } \frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} \quad \text{và} \quad \widehat{A'} = \widehat{A} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \text{ (c - g - c)}$$

3. Trường hợp 3: Góc - Góc (g - g)

Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

$$\text{Xét } \triangle A'B'C' \text{ và } \triangle ABC: \quad \text{Nếu } \widehat{B'} = \widehat{B} \quad \text{và} \quad \widehat{C'} = \widehat{C} \implies \triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \text{ (g - g)}$$

II. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

1. Kỹ năng viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng:

   • Xác định cặp góc bằng nhau trước để đặt các chữ cái ở vị trí tương ứng: nếu $\widehat{A} = \widehat{D}, \widehat{B} = \widehat{E}$ thì viết $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$.

   • Từ tên tam giác đồng dạng, suy ra ngay các cặp tỉ số tương ứng: $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$.

2. Kỹ năng nhận biết và chọn trường hợp chứng minh:

   • Ưu tiên (g - g): Thường dùng nhất trong các bài toán chứa đường song song (so le trong, đồng vị), góc đối đỉnh, góc chung hoặc hai góc vuông.

   • Dùng (c - g - c): Dùng khi đề bài cho sẵn một góc bằng nhau (hoặc góc chung) kèm theo các kích thước độ dài cạnh kề góc đó.

   • Dùng (c - c - c): Chủ yếu áp dụng khi đề bài cho độ dài cả 3 cạnh của hai tam giác. Luôn sắp xếp các cạnh của mỗi tam giác theo thứ tự từ bé đến lớn rồi lập tỉ số đối chiếu.

3. Kỹ năng suy diễn tích đoạn thẳng:

   • Để chứng minh hệ thức dạng $AB \cdot CD = AC \cdot BE$, biến đổi về dạng tỉ lệ thức: $\frac{AB}{BE} = \frac{AC}{CD}$ hoặc $\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD}$, sau đó chọn hai tam giác chứa các cạnh này để chứng minh đồng dạng.

III. BÀI TẬP MINH HỌA KÈM LỜI GIẢI

Bài 1 (Minh họa trường hợp c - c - c)

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$, $BC = 12\text{ cm}$ và $\triangle MNP$ có $MN = 4\text{ cm}$, $MP = 6\text{ cm}$, $NP = 8\text{ cm}$. Chứng minh $\triangle MNP \backsim \triangle ABC$.

Lời giải: Sắp xếp các cạnh của từng tam giác theo thứ tự tăng dần và lập tỉ số:

• $\triangle MNP$ có các cạnh: $MN = 4$, $MP = 6$, $NP = 8$.

• $\triangle ABC$ có các cạnh: $AB = 6$, $AC = 9$, $BC = 12$.

Ta xét các tỉ số:

$$\frac{MN}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad \frac{MP}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}, \quad \frac{NP}{BC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

Do đó:

$$\frac{MN}{AB} = \frac{MP}{AC} = \frac{NP}{BC} = \frac{2}{3}$$

Suy ra $\triangle MNP \backsim \triangle ABC \text{ (c - c - c)}$ với tỉ số đồng dạng $k = \frac{2}{3}$.

Bài 2 (Minh họa trường hợp c - g - c)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8\text{ cm}$, $AC = 12\text{ cm}$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = 3\text{ cm}$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AN = 2\text{ cm}$. Chứng minh $\triangle ANM \backsim \triangle ABC$.

Lời giải: Xét hai tam giác $\triangle ANM$ và $\triangle ABC$, ta có:

• Góc $\widehat{A}$ là góc chung ($\widehat{NAM} = \widehat{BAC}$).

• Xét tỉ số giữa các cạnh kề góc $A$:

  $$\frac{AN}{AB} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

  $$\frac{AM}{AC} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

  Do đó: $\frac{AN}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{4}$.

Kết luận: $\triangle ANM \backsim \triangle ABC \text{ (c - g - c)}$.

Bài 3 (Minh họa trường hợp g - g và ứng dụng tính độ dài)

Đề bài: Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết $AB = 5\text{ cm}$, $CD = 10\text{ cm}$ và $OA = 3\text{ cm}$.

1. Chứng minh $\triangle OAB \backsim \triangle OCD$.

2. Tính độ dài đoạn thẳng $OC$.

Lời giải:

1. Chứng minh $\triangle OAB \backsim \triangle OCD$: Vì $AB \parallel CD$ (giả thiết hình thang), theo tính chất góc so le trong:

• $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (so le trong tạo bởi cát tuyến $AC$).

• $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (so le trong tạo bởi cát tuyến $BD$).

Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$, ta có:

• $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$

• $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$

Suy ra $\triangle OAB \backsim \triangle OCD \text{ (g - g)}$.

2. Tính độ dài $OC$: Vì $\triangle OAB \backsim \triangle OCD$, ta có tỉ số đồng dạng:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}$$

Thay các số đo đã biết vào:

$$\frac{3}{OC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies OC = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}$$

Vậy $OC = 6\text{ cm}$.