Bài 32: Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng - lớp 8

I. Kiến thức cần nhớ

1. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm và xác suất:

   • Khi số lần thực hiện phép thử càng lớn, xác suất thực nghiệm của một biến cố sẽ càng gần với xác suất lí thuyết của biến cố đó.

   • Ta có thể dùng xác suất thực nghiệm của biến cố sau một số lớn phép thử để ước lượng cho xác suất lí thuyết của biến cố đó.

2. Ứng dụng ước lượng số lượng (Ước lượng cá thể trong thực tế):

   • Giả sử trong một quần thể có tổng số $N$ cá thể (chưa biết), trong đó có $M$ cá thể được đánh dấu (đã biết).

   • Bắt ngẫu nhiên $n$ cá thể từ quần thể, thấy có $m$ cá thể mang dấu.

   • Vì xác suất thực nghiệm xấp xỉ xác suất lí thuyết:

     $$\frac{m}{n} \approx \frac{M}{N} \implies N \approx \frac{M \cdot n}{m}$$

II. Kĩ năng giải toán

1. Dự đoán số lần xuất hiện của biến cố:

   • Nếu một biến cố $E$ có xác suất là $P(E)$, khi thực hiện phép thử $N$ lần thì số lần xuất hiện của $E$ được dự đoán xấp xỉ bằng:

     $$\text{Số lần xuất hiện} \approx N \cdot P(E)$$

2. Quy trình giải bài toán ước lượng quần thể (Phương pháp bắt - đánh dấu - thả lại):

   • Bước 1: Xác định các đại lượng:

     • $M$: Số lượng cá thể ban đầu được đánh dấu và thả vào quần thể.

     • $n$: Số lượng mẫu được bắt lại lần 2.

     • $m$: Số cá thể có dấu trong mẫu bắt lại lần 2.

   • Bước 2: Lập tỉ số đồng dạng xác suất: $\frac{m}{n} \approx \frac{M}{N}$.

   • Bước 3: Tính $N \approx \frac{M \cdot n}{m}$ và kết luận số lượng cá thể của quần thể.

III. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối $1\,200$ lần.

a) Tính xác suất lí thuyết của biến cố $A$: "Mặt xuất hiện có số chấm là số chia hết cho 3".

b) Dự đoán số lần xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 trong $1\,200$ lần gieo đó.

Lời giải:

a) Con xúc xắc có 6 mặt đồng khả năng. Các mặt có số chấm chia hết cho 3 là $\{3; 6\}$ (có 2 kết quả thuận lợi).

Xác suất của biến cố $A$ là:

$$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

b) Khi gieo $1\,200$ lần, số lần xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 xấp xỉ bằng:

$$1\,200 \cdot P(A) = 1\,200 \cdot \frac{1}{3} = 400\text{ (lần)}$$

Bài 2. Một lô hàng linh kiện điện tử gồm $5\,000$ sản phẩm. Người ta kiểm tra ngẫu nhiên $200$ sản phẩm từ lô hàng thì phát hiện có $6$ sản phẩm bị lỗi.

a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Lấy ra sản phẩm bị lỗi".

b) Hãy ước lượng số linh kiện bị lỗi trong toàn bộ lô hàng $5\,000$ sản phẩm đó.

Lời giải:

a) Xác suất thực nghiệm lấy phải sản phẩm bị lỗi trong mẫu kiểm tra là:

$$\frac{6}{200} = \frac{3}{100} = 0,03 \ (3\%)$$

b) Ước lượng số linh kiện bị lỗi trong toàn bộ lô hàng là:

$$5\,000 \cdot 0,03 = 150\text{ (sản phẩm)}$$

Bài 3. Để ước lượng số lượng cá trong một hồ nước, các nhà sinh vật học bắt lên $150$ con cá, bấm thẻ đánh dấu rồi thả lại hồ. Một tuần sau, họ bắt ngẫu nhiên $200$ con cá trong hồ và đếm thấy có $12$ con mang thẻ đánh dấu. Hãy ước lượng tổng số con cá hiện có trong hồ nước đó.

Lời giải:

Gọi $N$ là tổng số cá có trong hồ ($N \in \mathbb{N}^*$).

Xác suất thực nghiệm bắt được cá có thẻ đánh dấu trong lần bắt thứ hai là:

$$\frac{m}{n} = \frac{12}{200}$$

Vì số lượng cá kiểm tra lớn, xác suất thực nghiệm xấp xỉ tỉ số cá có thẻ đánh dấu trên tổng đàn cá:

$$\frac{12}{200} \approx \frac{150}{N}$$

Suy ra tổng số cá trong hồ xấp xỉ là:

$$N \approx \frac{150 \cdot 200}{12} = 2\,500\text{ (con cá)}$$

Vậy trong hồ có khoảng $2\,500$ con cá.