Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình - lớp 8

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Để giải một bài toán thực tế bằng cách lập phương trình, ta thực hiện theo 3 bước:

Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (nêu rõ đơn vị đo).
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

• Sử dụng các quy tắc biến đổi (chuyển vế, nhân chia, quy đồng khử mẫu, thu gọn) để tìm nghiệm của phương trình.

Bước 3: Trả lời (Kết luận)

• Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không.
• Kết luận nghiệm đúng theo câu hỏi của bài toán.

2. Các dạng toán điển hình thường gặp

1. Toán chuyển động: Liên hệ giữa ba đại lượng: Quãng đường ($s$), Vận tốc ($v$), Thời gian ($t$) qua công thức $s = v \cdot t$.
2. Toán năng suất – công việc: Liên hệ giữa Khối lượng công việc ($A$), Năng suất làm việc trong một đơn vị thời gian ($N$) và Thời gian hoàn thành ($t$) qua công thức $A = N \cdot t$.
3. Toán quan hệ số và hình học: Cấu tạo số tự nhiên ($\overline{ab} = 10a + b$), chu vi ($P = 2(a + b)$), diện tích ($S = a \cdot b$).
4. Toán kinh tế – tài chính – phần trăm: Giá gốc, giá bán sau khi tăng/giảm giá, tiền lãi, nồng độ dung dịch.

3. Ví dụ minh họa và rèn luyện

Ví dụ 1: Dạng toán chuyển động ngược chiều gặp nhau

Đề bài: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau $180\text{ km}$, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $2$ giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc ô tô đi từ B là $10\text{ km/h}$.

Lời giải:

• Bước 1: Lập phương trình

  Gọi vận tốc của ô tô đi từ B là $x$ (km/h). Điều kiện: $x > 0$.

  Vì vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn ô tô đi từ B là $10\text{ km/h}$ nên vận tốc ô tô đi từ A là:

  $$x + 10\text{ (km/h)}$$

  Sau $2$ giờ:

  • Quãng đường ô tô đi từ B đi được là: $2x\text{ (km)}$.

  • Quãng đường ô tô đi từ A đi được là: $2(x + 10)\text{ (km)}$.

    Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau trên quãng đường AB dài $180\text{ km}$ nên ta có phương trình:

    $$2(x + 10) + 2x = 180$$

• Bước 2: Giải phương trình

  $$2x + 20 + 2x = 180$$

  $$4x = 180 - 20$$

  $$4x = 160 \Leftrightarrow x = 40$$

• Bước 3: Kết luận

  Giá trị $x = 40$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$.

  Vận tốc ô tô đi từ B là $40\text{ km/h}$.

  Vận tốc ô tô đi từ A là $40 + 10 = 50\text{ km/h}$.

Ví dụ 2: Dạng toán năng suất làm việc

Đề bài: Một tổ công nhân dự định may $300$ chiếc áo trong một thời gian quy định. Khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày tổ may được thêm $5$ chiếc áo so với kế hoạch, do đó đã hoàn thành trước thời hạn $2$ ngày và còn may thêm được $10$ chiếc áo nữa. Tính số áo tổ phải may trong một ngày theo kế hoạch.

Lời giải:

• Bước 1: Lập phương trình

  Gọi số áo tổ dự định may trong một ngày theo kế hoạch là $x$ (chiếc áo). Điều kiện: $x \in \mathbb{N}^*$.

  • Thời gian dự định may xong $300$ áo là: $\frac{300}{x}$ (ngày).

  • Thực tế mỗi ngày tổ may được: $x + 5$ (chiếc áo).

  • Tổng số áo thực tế may được là: $300 + 10 = 310$ (chiếc áo).

  • Thời gian thực tế làm xong là: $\frac{310}{x + 5}$ (ngày).

    Vì tổ hoàn thành trước kế hoạch $2$ ngày nên ta có phương trình:

    $$\frac{300}{x} - \frac{310}{x + 5} = 2$$

• Bước 2: Giải phương trình

  Quy đồng và khử mẫu chung là $x(x + 5)$:

  $$300(x + 5) - 310x = 2x(x + 5)$$

  $$300x + 1500 - 310x = 2x^2 + 10x$$

  $$1500 - 10x = 2x^2 + 10x$$

  $$2x^2 + 20x - 1500 = 0$$

  $$x^2 + 10x - 750 = 0$$

  Tách hạng tử:

  $$x^2 + 35x - 25x - 875 \dots \rightarrow (x - 25)(x + 30) = 0$$

  $$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 25 \\ x = -30 \end{array}\right.$$

• Bước 3: Kết luận

  Đối chiếu điều kiện $x \in \mathbb{N}^*$, ta chọn $x = 25$ (loại $x = -30$).

  Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ phải may $25$ chiếc áo.

Ví dụ 3: Dạng toán hình học

Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $64\text{ m}$. Nếu tăng chiều rộng thêm $3\text{ m}$ và giảm chiều dài đi $2\text{ m}$ thì diện tích mảnh vườn tăng thêm $24\text{ m}^2$. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn.

Lời giải:

• Bước 1: Lập phương trình

  Nửa chu vi mảnh vườn là: $64 : 2 = 32\text{ m}$.

  Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là $x$ (m). Điều kiện: $0 < x < 16$.

  Chiều dài ban đầu của mảnh vườn là: $32 - x$ (m).

  Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: $x(32 - x)\text{ (m}^2\text{)}$.

  • Chiều rộng sau khi tăng $3\text{ m}$ là: $x + 3$ (m).

  • Chiều dài sau khi giảm $2\text{ m}$ là: $(32 - x) - 2 = 30 - x$ (m).

  • Diện tích mới là: $(x + 3)(30 - x)\text{ (m}^2\text{)}$.

    Vì diện tích mới tăng thêm $24\text{ m}^2$ so với diện tích ban đầu, ta có phương trình:

    $$(x + 3)(30 - x) - x(32 - x) = 24$$

• Bước 2: Giải phương trình

  $$(30x - x^2 + 90 - 3x) - (32x - x^2) = 24$$

  $$-x^2 + 27x + 90 - 32x + x^2 = 24$$

  $$-5x + 90 = 24$$

  $$-5x = 24 - 90$$

  $$-5x = -66 \Leftrightarrow x = 13,2$$

• Bước 3: Kết luận

  Giá trị $x = 13,2$ thỏa mãn điều kiện $0 < x < 16$.

  Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là $13,2\text{ m}$.

  Chiều dài ban đầu của mảnh vườn là $32 - 13,2 = 18,8\text{ m}$.

Ví dụ 4: Dạng toán kinh tế và phần trăm

Đề bài: Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy giảm giá $15\%$ cho tất cả các mặt hàng tivi. Bác Ba mua một chiếc tivi và chỉ phải trả số tiền là $10\,200\,000$ đồng. Hỏi giá niêm yết ban đầu của chiếc tivi đó khi chưa giảm giá là bao nhiêu?

Lời giải:

• Bước 1: Lập phương trình

  Gọi giá niêm yết ban đầu của chiếc tivi là $x$ (đồng). Điều kiện: $x > 10\,200\,000$.

  Số tiền được giảm giá là: $15\% \cdot x = 0,15x$ (đồng).

  Số tiền thực tế bác Ba phải trả là:

  $$x - 0,15x = 0,85x\text{ (đồng)}$$

  Theo đề bài, số tiền phải trả là $10\,200\,000$ đồng, ta có phương trình:

  $$0,85x = 10\,200\,000$$

• Bước 2: Giải phương trình

  $$x = \frac{10\,200\,000}{0,85} = 12\,000\,000$$

• Bước 3: Kết luận

  Giá trị $x = 12\,000\,000$ thỏa mãn điều kiện.

  Vậy giá niêm yết ban đầu của chiếc tivi là $12\,000\,000$ đồng.