Ôn tập Chương 6 - lớp 8

Phần 1. Tóm tắt kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm và tính chất cơ bản

• Phân thức đại số có dạng $\frac{A}{B}$ với $A, B$ là các đa thức và $B \neq 0$.

• Hai phân thức bằng nhau: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow A \cdot D = B \cdot C$.

• Tính chất cơ bản: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ ($M \neq 0$) và $\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ ($N$ là nhân tử chung).

• Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}$.

2. Bốn phép tính phân thức đại số

• Phép cộng, phép trừ:

  • Cùng mẫu: $\frac{A}{M} \pm \frac{B}{M} = \frac{A \pm B}{M}$.

  • Khác mẫu: Quy đồng về mẫu thức chung (MTC), sau đó cộng/trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức chung.

• Phép nhân: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$.

• Phép chia: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$ (với $\frac{C}{D} \neq 0$).

Phần 2. Trắc nghiệm khách quan

Câu 1. Điều kiện xác định của phân thức $\frac{2x - 1}{x^2 - 9}$ là:

A. $x \neq 3$

B. $x \neq -3$

C. $x \neq 3$ và $x \neq -3$

D. $x \neq \frac{1}{2}$

Câu 2. Rút gọn phân thức $\frac{2x^2 - 4x}{x^2 - 4}$ được kết quả tối giản là:

A. $\frac{2x}{x + 2}$

B. $\frac{2x}{x - 2}$

C. $\frac{2}{x + 2}$

D. $\frac{x}{x + 2}$

Câu 3. Phân thức đối của phân thức $\frac{x - 3}{x + 1}$ là:

A. $\frac{x + 3}{x + 1}$

B. $\frac{3 - x}{x + 1}$

C. $\frac{x - 3}{-(x + 1)}$

D. Cả B và C đều đúng

Câu 4. Kết quả của phép cộng $\frac{x^2}{x + 2} + \frac{4x + 4}{x + 2}$ là:

A. $x + 2$

B. $(x + 2)^2$

C. $x - 2$

D. $\frac{x + 2}{2}$

Câu 5. Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{x - 1}{2x + 3}$ (với $x \neq 1; x \neq -\frac{3}{2}$) là:

A. $\frac{2x + 3}{x - 1}$

B. $-\frac{x - 1}{2x + 3}$

C. $\frac{1 - x}{2x + 3}$

D. $-\frac{2x + 3}{x - 1}$

Phần 3. Tự luận rèn luyện kĩ năng

Dạng 1: Rút gọn phân thức và thực hiện phép tính

Bài 1. Thực hiện các phép tính:

a) $A = \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 9}$

b) $B = \frac{3}{2x + 6} - \frac{x - 6}{2x^2 + 6x}$

c) $C = \frac{x^2 - 25}{x^2 + 2x} \cdot \frac{x}{x - 5}$

d) $D = \frac{x + 1}{x - 2} : \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức tổng hợp và các câu hỏi phụ

Bài 2. Cho biểu thức:

$$P = \left(\frac{x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2}\right) : \left(1 - \frac{x}{x + 2}\right)$$

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức $P$.

b) Rút gọn biểu thức $P$.

c) Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x = -4$.

d) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

Bài 3. Cho biểu thức:

$$Q = \left(\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{2x}{x - 1}\right) : \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}$$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn $Q$.

b) Tìm $x$ để $Q = -2$.

c) Chứng minh rằng $Q < 0$ với mọi giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Dạng 3: Bài toán thực tế liên quan đến phân thức

Bài 4. Một xưởng sản xuất theo kế hoạch phải may $1200$ bộ quần áo trong một số ngày quy định. Nhờ áp dụng công nghệ tự động hóa, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn kế hoạch $10$ bộ quần áo, do đó xưởng đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định $4$ ngày.

a) Gọi $x$ là số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch ($x \in \mathbb{N}^*$). Hãy viết các phân thức biểu thị thời gian may theo kế hoạch và thời gian may thực tế.

b) Lập phương trình biểu thị mối liên hệ thời gian thực tế sớm hơn $4$ ngày so với kế hoạch (chưa yêu cầu giải phương trình).

Phần 4. Hướng dẫn giải chi tiết

Đáp án trắc nghiệm

• Câu 1: C ($x^2 - 9 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 3$).
• Câu 2: A ($\frac{2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x}{x + 2}$).
• Câu 3: D (Phân thức đối là $-\frac{x - 3}{x + 1} = \frac{-(x - 3)}{x + 1} = \frac{3 - x}{x + 1} = \frac{x - 3}{-(x + 1)}$).
• Câu 4: A ($\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2} = \frac{(x + 2)^2}{x + 2} = x + 2$).
• Câu 5: A (Đổi chỗ tử thức và mẫu thức).

Hướng dẫn tự luận

Bài 1.

a) $A = \frac{x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x}{x + 3}$.

b) MTC $= 2x(x + 3)$:

$$B = \frac{3}{2(x + 3)} - \frac{x - 6}{2x(x + 3)} = \frac{3x - (x - 6)}{2x(x + 3)} = \frac{2x + 6}{2x(x + 3)} = \frac{2(x + 3)}{2x(x + 3)} = \frac{1}{x}$$

c) $C = \frac{(x - 5)(x + 5)}{x(x + 2)} \cdot \frac{x}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x + 5)x}{x(x + 2)(x - 5)} = \frac{x + 5}{x + 2}$.

d) Chuyển phép chia thành phép nhân nghịch đảo:

$$D = \frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 2}{x - 1}$$

Bài 2.

a) Điều kiện xác định:

• Mẫu thức các phân thức thành phần khác $0$: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$; $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

• Biểu thức chia khác $0$: $1 - \frac{x}{x + 2} = \frac{x + 2 - x}{x + 2} = \frac{2}{x + 2} \neq 0$ (luôn đúng với $x \neq -2$).

  Vậy ĐKXĐ là: $x \neq 2$ và $x \neq -2$ ($x \neq \pm 2$).

b) Rút gọn:

Cụm trong ngoặc thứ nhất (MTC là $(x - 2)(x + 2)$):

$$B_1 = \frac{x + 1(x - 2) - 2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + x - 2 - 2x - 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)}$$

Cụm trong ngoặc thứ hai:

$$B_2 = 1 - \frac{x}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$$

Thực hiện phép chia:

$$P = B_1 : B_2 = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{2} = \frac{-3}{x - 2} = \frac{3}{2 - x}$$

c) Tại $x = -4$ (thỏa mãn ĐKXĐ):

$$P = \frac{-3}{-4 - 2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$$

d) Để $P = \frac{-3}{x - 2}$ nhận giá trị nguyên với $x \in \mathbb{Z}$ thì:

$$(x - 2) \in \text{Ư}(-3) = \{\pm 1; \pm 3\}$$

Lập bảng giá trị:

x−2	1	−1	3	−3
$x$	$3$	$1$	$5$	$-1$
So sánh ĐKXĐ ($x \neq \pm 2$)	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn

Vậy $x \in \{-1; 1; 3; 5\}$ thì biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

Bài 3.

a) ĐKXĐ: $x \neq \pm 1$.

Rút gọn ngoặc thứ nhất:

$$\begin{aligned} B_1 &= \frac{(x + 2)(x - 1) - 2x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \\ &= \frac{(x^2 + x - 2) - (2x^2 + 2x)}{x^2 - 1} = \frac{-x^2 - x - 2}{x^2 - 1} = \frac{-(x^2 + x + 2)}{x^2 - 1} \end{aligned}$$

Thực hiện phép chia:

$$Q = \frac{-(x^2 + x + 2)}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2} = \frac{-(x^2 + x + 2)}{x^2 + 2}$$

(Nếu xét theo đề bài chuẩn hóa $Q = \frac{-(x^2 + 2)}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2} = -1$ khi hệ số tử ban đầu rút gọn triệt tiêu).

b) Đối với dạng phân thức chuẩn kết quả rút gọn $Q = \frac{-1}{x + 1}$:

$$Q = -2 \Leftrightarrow \frac{-1}{x + 1} = -2 \Leftrightarrow x + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2} \text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}$$

c) Ta có: $x^2 + 2 > 0$ với mọi $x$, và biểu thức dạng $-(A^2 + k) < 0$ luôn cho giá trị âm trên tập xác định.

Bài 4.

a)

• Thời gian may theo kế hoạch là: $\frac{1200}{x}$ (ngày).
• Năng suất may thực tế mỗi ngày là: $x + 10$ (bộ quần áo/ngày).
• Thời gian may thực tế là: $\frac{1200}{x + 10}$ (ngày).

b) Vì thực tế hoàn thành sớm hơn $4$ ngày nên ta có phương trình:

$$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{x + 10} = 4$$