Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng - lớp 8

1. Hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$)

Khái niệm góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$

Gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d: y = ax + b$ với trục $Ox$, $T$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$ có tung độ dương ($y_T > 0$).

• Góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục hoành $Ox$ là góc $\alpha = \widehat{xAT}$ (tính từ tia $Ax$ theo chiều ngược kim đồng hồ lên tia $AT$).

           y
           ^       d: y = ax + b (a > 0)
           |      /
           |     / T
           |    /
           |   /  alpha
-----------+--A------------> x
           |  (góc nhọn)

Ý nghĩa của hệ số góc $a$

• Khi $a > 0$: Góc $\alpha$ là góc nhọn ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Khi $a$ càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn (nhưng luôn nhỏ hơn $90^\circ$).
• Khi $a < 0$: Góc $\alpha$ là góc tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Khi $a$ càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn (nhưng luôn nhỏ hơn $180^\circ$).
• Do mối quan hệ mật thiết giữa hệ số $a$ và độ dốc (góc nghiêng $\alpha$) của đường thẳng, số $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

$$d_1: y = a_1x + b_1 \quad (a_1 \neq 0)$$

$$d_2: y = a_2x + b_2 \quad (a_2 \neq 0)$$

1. Hai đường thẳng song song:

   $$d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 \neq b_2 \end{cases}$$

2. Hai đường thẳng trùng nhau:

   $$d_1 \equiv d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 = b_2 \end{cases}$$

3. Hai đường thẳng cắt nhau:

   $$d_1 \text{ cắt } d_2 \Leftrightarrow a_1 \neq a_2$$

   (Mở rộng: Hai đường thẳng vuông góc với nhau $d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow a_1 \cdot a_2 = -1$).

3. Hình vẽ minh họa SVG chuẩn tỉ lệ toán học

Tỉ lệ chuẩn: $1\text{ đơn vị} = 40\text{px}$.

Gốc $O(0; 0)$ tại điểm SVG $(180; 180)$. Công thức tọa độ SVG:

$$X = 180 + 40x, \quad Y = 180 - 40y$$

Hình 1: Góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng $d_1: y = x + 1$ ($a = 1 > 0 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$)

• Cắt $Ox$ tại $A(-1; 0) \rightarrow$ SVG $(140; 180)$.

• Cắt $Oy$ tại $B(0; 1) \rightarrow$ SVG $(180; 140)$.

• Điểm $T(2; 3) \rightarrow$ SVG $(260; 60)$. Đường thẳng vẽ từ $(-2; -1)$ đến $(2.5; 3.5)$, tức SVG $(100; 220)$ đến $(280; 40)$.

Hình 2: Hai đường thẳng song song $d_1: y = 2x + 1$ và $d_2: y = 2x - 3$ ($a_1 = a_2 = 2$)

• Cả hai đường thẳng đều có hệ số góc $a = 2 \Rightarrow$ cùng tạo với $Ox$ các góc bằng nhau $\Rightarrow d_1 \parallel d_2$.
• $d_1: y = 2x + 1$ qua $(0; 1)$ [SVG $(180; 140)$] và $(-1; -1)$ [SVG $(140; 220)$].
• $d_2: y = 2x - 3$ qua $(0; -3)$ [SVG $(180; 300)$] và $(2; 1)$ [SVG $(260; 140)$].

4. Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Nhận diện hệ số góc và tính chất góc tạo với trục Ox

Bài 1. Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau và cho biết góc tạo bởi đường thẳng đó với trục $Ox$ là góc nhọn hay góc tù:

a) $d_1: y = 3x - 5$

b) $d_2: y = -2x + 1$

c) $d_3: y = \frac{1 - 4x}{2}$

Lời giải:

a) $d_1$ có hệ số góc $a = 3$. Vì $a = 3 > 0$ nên góc tạo bởi $d_1$ và trục $Ox$ là góc nhọn.

b) $d_2$ có hệ số góc $a = -2$. Vì $a = -2 < 0$ nên góc tạo bởi $d_2$ và trục $Ox$ là góc tù.

c) Ta có $d_3: y = -\frac{4}{2}x + \frac{1}{2} = -2x + \frac{1}{2}$. Hệ số góc $a = -2 < 0$ nên góc tạo với trục $Ox$ là góc tù.

Dạng 2: Xác định tham số $m$ để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau

Bài 2. Cho hai hàm số bậc nhất:

$$d_1: y = (2m - 1)x + 3 \quad \left(m \neq \frac{1}{2}\right)$$

$$d_2: y = 3x + 1$$

Tìm giá trị của $m$ để:

a) $d_1$ cắt $d_2$.

b) $d_1$ song song với $d_2$.

Lời giải:

Xác định các hệ số:

• $d_1$ có $a_1 = 2m - 1, \quad b_1 = 3$.

• $d_2$ có $a_2 = 3, \quad b_2 = 1$.

a) $d_1$ cắt $d_2 \Leftrightarrow a_1 \neq a_2 \Leftrightarrow 2m - 1 \neq 3 \Leftrightarrow 2m \neq 4 \Leftrightarrow m \neq 2$.

Kết hợp với điều kiện đề bài, ta được: $m \neq \frac{1}{2}$ và $m \neq 2$.

b) $d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 \neq b_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2m - 1 = 3 \\ 3 \neq 1 \text{ (luôn đúng)} \end{cases} \Leftrightarrow 2m = 4 \Leftrightarrow m = 2$ (thỏa mãn $m \neq \frac{1}{2}$).

Vậy với $m = 2$ thì hai đường thẳng song song với nhau.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (Tìm $a$ và $b$)

Bài 3. Tìm hàm số bậc nhất $y = ax + b$ biết đồ thị của nó:

a) Có hệ số góc bằng $2$ và đi qua điểm $M(1; 5)$.

b) Song song với đường thẳng $y = -3x + 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $2$.

Lời giải:

a) Vì hệ số góc bằng $2$ nên $a = 2$. Hàm số có dạng $y = 2x + b$.

Đồ thị đi qua điểm $M(1; 5)$ nên tọa độ $M$ thỏa mãn phương trình:

$$5 = 2 \cdot 1 + b \Leftrightarrow b = 5 - 2 = 3$$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x + 3$.

b) Đường thẳng song song với $y = -3x + 2$ nên:

$$a = -3 \quad \text{và} \quad b \neq 2$$

Hàm số có dạng $y = -3x + b$.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $2$, tức đi qua điểm $N(2; 0)$:

$$0 = -3 \cdot 2 + b \Leftrightarrow 0 = -6 + b \Leftrightarrow b = 6 \text{ (thỏa mãn } b \neq 2\text{)}$$

Vậy hàm số cần tìm là $y = -3x + 6$.