Ôn tập Chương V: Đường tròn - lớp 9

Bài học này dành cho thành viên VIP, bạn vui lòng đăng nhập để tiếp tục.

Đăng nhập

Ôn tập Chương V: Đường tròn

I. Sơ đồ hệ thống kiến thức Chương V

Chủ đề	Công thức & Tính chất trọng tâm	Điều kiện & Lưu ý
1. Đường tròn, cung & dây	• $M \in (O; R) \Leftrightarrow OM = R$ • Dây lớn nhất là đường kính ($AB \le 2R$) • $\text{sđ}\overset{\frown}{AmB} = \widehat{AOB}$; $\quad \text{sđ}\overset{\frown}{AnB} = 360^\circ - \text{sđ}\overset{\frown}{AmB}$	• Đường tròn có tâm đối xứng ($O$) và vô số trục đối xứng (đường kính) • Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây ấy
2. Độ dài cung & Diện tích	• Chu vi: $C = 2\pi R = \pi d$ ; Diện tích: $S = \pi R^2$ • Độ dài cung $n^\circ$: $l = \frac{\pi R n}{180}$ • Diện tích hình quạt tròn: $S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{l \cdot R}{2}$ • Diện tích hình vành khuyên: $S_v = \pi(R^2 - r^2)$	• $0 < n \le 360$ • Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm ($R > r$)
3. Vị trí tương đối của đường thẳng & đường tròn	• Cắt nhau ($2$ điểm chung): $d < R$ • Tiếp xúc ($1$ điểm chung): $d = R$ ($a \perp OC$ tại tiếp điểm $C$) • Không giao nhau ($0$ điểm chung): $d > R$	• Hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$: $MA = MB$, $MO$ và $OM$ là các tia phân giác
4. Vị trí tương đối của hai đường tròn ($R \ge r$)	• Ngoài nhau: $d > R + r$ ($0$ điểm chung) • Tiếp xúc ngoài: $d = R + r$ ($1$ điểm chung) • Cắt nhau: $R - r < d < R + r$ ($2$ điểm chung) • Tiếp xúc trong: $d = R - r$ ($1$ điểm chung) • Đựng nhau: $d < R - r$ ($0$ điểm chung)	• $d = OO'$ là đoạn nối tâm • Hai đường tròn cắt nhau: $OO'$ là trung trực của dây chung $AB$

II. Bài tập tổng hợp Chương V

Đề bài

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 12\text{ cm}$. Kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn ($B, C$ là các tiếp điểm). a) Tính độ dài $AB$ và số đo góc $\widehat{BAC}$. b) Tính diện tích hình quạt tròn $OBC$ ứng với cung nhỏ $BC$ (lấy $\pi \approx 3,14$, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 2: Cho hai đường tròn $(O; 9\text{ cm})$ và $(O'; 4\text{ cm})$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ ($B \in (O)$, $C \in (O')$). Tính độ dài $BC$ và diện tích tứ giác $OBCO'$.

Hướng dẫn giải ngắn gọn

Lời giải Bài 1:

$\triangle OBA$ vuông tại $B$ ($AB \perp OB$) nên:

$$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\text{ (cm)}$$
Ta có $\sin\widehat{OAB} = \frac{OB}{OA} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{OAB} = 30^\circ$. Vì $AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAC} = 2\widehat{OAB} = 60^\circ$.

Trong $\triangle OBA$ vuông tại $B$: $\widehat{AOB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \Rightarrow \widehat{BOC} = 2\widehat{AOB} = 120^\circ$.
Diện tích hình quạt tròn $OBC$ ứng với cung nhỏ $BC$ ($120^\circ$) là:

$$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 120}{360} = 12\pi \approx 12 \cdot 3,14 \approx 37,7\text{ (cm}^2)$$

Mã SVG minh họa Bài 1:

Lời giải Bài 2:

Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$ nên $OO' = R + r = 9 + 4 = 13\text{ (cm)}$.
Kẻ $O'H \perp OB$ tại $H$. Tứ giác $O'HBC$ có ba góc vuông ($\widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{H} = 90^\circ$) nên là hình chữ nhật $\Rightarrow BC = O'H$ và $BH = O'C = 4\text{ cm}$.
Suy ra $OH = OB - BH = 9 - 4 = 5\text{ (cm)}$.
Trong $\triangle OHO'$ vuông tại $H$:

$$BC = O'H = \sqrt{OO'^2 - OH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12\text{ (cm)}$$
Tứ giác $OBCO'$ là hình thang vuông tại $B$ và $C$ ($OB \parallel O'C$ vì cùng vuông góc với $BC$), có đường cao $BC = 12\text{ cm}$:

$$S_{OBCO'} = \frac{(OB + O'C) \cdot BC}{2} = \frac{(9 + 4) \cdot 12}{2} = 78\text{ (cm}^2)$$