Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. - lớp 9

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

• Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức dạng:

  $$ax + by = c$$

  trong đó $a, b, c$ là các số đã biết ($a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, tức là $a^2 + b^2 \ne 0$).

• Nghiệm của phương trình: Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là một nghiệm của phương trình $ax + by = c$ nếu:

  $$a x_0 + b y_0 = c$$

• Tập nghiệm và biểu diễn hình học:

  • Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm.

  • Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $ax + by = c$ là một đường thẳng $(d): ax + by = c$.

  • Nếu $b \ne 0$, ta có thể biểu diễn $y$ theo $x$: $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$.

  • Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$, phương trình trở thành $ax = c \Leftrightarrow x = \frac{c}{a}$ (đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung $Oy$).

  • Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$, phương trình trở thành $by = c \Leftrightarrow y = \frac{c}{b}$ (đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành $Ox$).

2. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

• Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ có dạng tổng quát:

  $$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$$

  trong đó mỗi phương trình đều là phương trình bậc nhất hai ẩn ($a^2 + b^2 \ne 0$ và $a'^2 + b'^2 \ne 0$).

• Nghiệm của hệ: Cặp số $(x_0; y_0)$ là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

• Minh họa hình học về số nghiệm: Gọi $(d_1): ax + by = c$ và $(d_2): a'x + b'y = c'$:

  1. $(d_1)$ cắt $(d_2)$ tại một điểm duy nhất $\Leftrightarrow$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

  2. $(d_1) \parallel (d_2)$ $\Leftrightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm.

  3. $(d_1) \equiv (d_2)$ $\Leftrightarrow$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

B. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

• Dạng 1: Nhận biết phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

  • Phương pháp: Kiểm tra số ẩn (đúng 2 ẩn), bậc của mỗi ẩn (bậc nhất, không chứa tích $xy$, không chứa ẩn ở mẫu hay dưới dấu căn) và điều kiện hệ số $a, b$ không đồng thời bằng $0$.

• Dạng 2: Kiểm tra một cặp số $(x_0; y_0)$ có là nghiệm hay không

  • Đối với một phương trình: Thay $x = x_0, y = y_0$ vào vế trái $VT = ax_0 + by_0$. Nếu $VT = VP = c$ thì cặp số đó là nghiệm; ngược lại thì không phải nghiệm.

  • Đối với hệ phương trình: Thay $x = x_0, y = y_0$ vào cả hai phương trình. Cặp số chỉ là nghiệm của hệ khi nó thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.

• Dạng 3: Viết công thức nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm

  • Phương pháp: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại (thường rút $y$ theo $x$ nếu $b \ne 0$, hoặc $x$ theo $y$ nếu $a \ne 0$). Viết tập nghiệm dưới dạng:

    $$\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b} \end{cases}$$

  • Xác định hai điểm thuộc đường thẳng (thường tìm giao điểm với hai trục $Ox, Oy$) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

• Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình/hệ nhận một cặp số cho trước làm nghiệm

  • Phương pháp: Thay giá trị $x_0, y_0$ vào phương trình đã cho để thu được phương trình bậc nhất với ẩn là tham số cần tìm, sau đó giải phương trình để tìm tham số.

• Dạng 5: Thiết lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ tình huống thực tế

  • Phương pháp: Chọn hai đại lượng chưa biết làm hai ẩn $x$ và $y$ (đặt điều kiện, đơn vị). Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng trong đề bài để lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó ghép thành hệ phương trình.

Ví dụ 1 (Nhận dạng phương trình bậc nhất hai ẩn)

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Chỉ rõ các hệ số $a, b, c$ của các phương trình đó:

1. $3x - 5y = 7$

2. $0x + 2y = -4$

3. $2x^2 + 3y = 1$

4. $xy - 2x = 5$

5. $0x + 0y = 3$

Lời giải:

1. $3x - 5y = 7$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 3, b = -5, c = 7$.

2. $0x + 2y = -4$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 0, b = 2, c = -4$ (vì $a, b$ không đồng thời bằng $0$).

3. $2x^2 + 3y = 1$ không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ẩn $x$ mang bậc 2.

4. $xy - 2x = 5$ không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa tích $xy$ có bậc 2.

5. $0x + 0y = 3$ không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai hệ số $a$ và $b$ đều bằng $0$.

Ví dụ 2 (Kiểm tra nghiệm của phương trình và hệ phương trình)

Cho hai cặp số: $(1; -1)$ và $(2; 1)$.

1. Cặp số nào là nghiệm của phương trình $2x - 3y = 5$?

2. Cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$?

Lời giải:

1. Xét phương trình $2x - 3y = 5$:

   • Với cặp số $(1; -1)$: Thay $x = 1, y = -1$ vào vế trái ta được:

     $$VT = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 3 = 5 = VP$$

     Vậy $(1; -1)$ là một nghiệm của phương trình.

   • Với cặp số $(2; 1)$: Thay $x = 2, y = 1$ vào vế trái ta được:

     $$VT = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1 \ne 5 = VP$$

     Vậy $(2; 1)$ không phải là nghiệm của phương trình.

2. Xét hệ phương trình $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \quad (1) \\ x + 2y = 4 \quad (2) \end{cases}$:

   • Với cặp số $(1; -1)$: Thay vào phương trình (1): $2(1) - 3(-1) = 5 \ne 1$. Do không thỏa mãn phương trình (1) nên $(1; -1)$ không là nghiệm của hệ.

   • Với cặp số $(2; 1)$:

     • Thay vào (1): $2(2) - 3(1) = 4 - 3 = 1$ (thỏa mãn).

     • Thay vào (2): $2 + 2(1) = 4$ (thỏa mãn). Vì $(2; 1)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình nên $(2; 1)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 3 (Tìm tham số để phương trình nhận nghiệm cho trước)

Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình $mx + 3y = 11$ nhận cặp số $(2; 1)$ làm nghiệm.

Lời giải: Vì phương trình $mx + 3y = 11$ nhận cặp số $(2; 1)$ làm nghiệm nên thay $x = 2, y = 1$ vào phương trình, ta được:

$$m \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 11$$

$$2m + 3 = 11$$

$$2m = 11 - 3$$

$$2m = 8 \Rightarrow m = 4$$

Vậy $m = 4$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4 (Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học)

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn: $3x - y = 2$.

1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình.

2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng biểu diễn tập nghiệm với hai trục tọa độ $Ox, Oy$.

Lời giải:

1. Ta có:

   $$3x - y = 2 \Leftrightarrow y = 3x - 2$$

   Vậy công thức nghiệm tổng quát của phương trình là:

   $$\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 3x - 2 \end{cases}$$

   (hoặc viết dưới dạng cặp nghiệm $(x; 3x - 2)$ với $x \in \mathbb{R}$).

2. Gọi đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là $(d): y = 3x - 2$:

   • Giao điểm với trục tung $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 3(0) - 2 = -2$. Tọa độ giao điểm là $A(0; -2)$.

   • Giao điểm với trục hoành $Ox$: Cho $y = 0 \Rightarrow 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Tọa độ giao điểm là $B\left(\frac{2}{3}; 0\right)$.

Ví dụ 5 (Mô hình hóa bài toán thực tế bằng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn)

Hai bạn An và Bình cùng vào một nhà sách. Bạn An mua $3$ quyển vở và $2$ chiếc bút bi hết $46\,000$ đồng. Bạn Bình mua $2$ quyển vở và $4$ chiếc bút bi cùng loại hết $44\,000$ đồng.

1. Hãy gọi $x$ (đồng) là giá tiền một quyển vở và $y$ (đồng) là giá tiền một chiếc bút bi ($x, y > 0$). Thiết lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị số tiền mua hàng của hai bạn.

2. Kiểm tra xem cặp số $(12\,000; 5\,000)$ có phải là nghiệm của hệ phương trình vừa lập hay không.

Lời giải: 1.

• Số tiền bạn An mua $3$ quyển vở là $3x$ (đồng), mua $2$ chiếc bút bi là $2y$ (đồng). Do tổng số tiền bạn An trả là $46\,000$ đồng nên ta có phương trình:

  $$3x + 2y = 46\,000 \quad (1)$$

• Số tiền bạn Bình mua $2$ quyển vở là $2x$ (đồng), mua $4$ chiếc bút bi là $4y$ (đồng). Do tổng số tiền bạn Bình trả là $44\,000$ đồng nên ta có phương trình:

  $$2x + 4y = 44\,000 \quad (2)$$

• Từ (1) và (2), ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

  $$\begin{cases} 3x + 2y = 46\,000 \\ 2x + 4y = 44\,000 \end{cases}$$

2. Thay $x = 12\,000$ và $y = 5\,000$ vào hệ phương trình:

   • Phương trình thứ nhất: $3 \cdot 12\,000 + 2 \cdot 5\,000 = 36\,000 + 10\,000 = 46\,000$ (thỏa mãn).

   • Phương trình thứ hai: $2 \cdot 12\,000 + 4 \cdot 5\,000 = 24\,000 + 20\,000 = 44\,000$ (thỏa mãn). Vậy cặp số $(12\,000; 5\,000)$ chính là một nghiệm của hệ phương trình (giá một quyển vở là $12\,000$ đồng và một chiếc bút bi là $5\,000$ đồng).