Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết cốt lõi

Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ ($d = OH$ với $OH \perp a$ tại $H$).

1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

2. Tính chất và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

• Tính chất của tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm ($a \perp OC$ tại tiếp điểm $C$).

• Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

• Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

  • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm ($MA = MB$).

  • Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ($\widehat{AMO} = \widehat{BMO}$).

  • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm ($\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 8\text{ cm}$, $BC = 10\text{ cm}$. Chứng minh rằng đường thẳng $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $B$ bán kính $R = 6\text{ cm}$.

• Giải:

  • Ta có: $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ và $BC^2 = 10^2 = 100$.

  • Suy ra $AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$ (định lí Pythagore đảo), tức là $AC \perp AB$ tại $A$.

  • Xét đường tròn $(B; 6\text{ cm})$: điểm $A$ thuộc $(B; 6\text{ cm})$ (vì $BA = 6\text{ cm} = R$) và $AC \perp BA$ tại $A$.

  • Vậy $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B; 6\text{ cm})$.

Ví dụ 1:

Ví dụ 2: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ sao cho $OM = 13\text{ cm}$, kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn ($A, B$ là các tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng $MA$, $MB$ và chứng minh $OM \perp AB$.

• Giải:

  • Vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ nên $MA \perp OA$ tại $A$.

  • Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$:

    $$MA = \sqrt{OM^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ (cm)}$$

  • Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $MB = MA = 12\text{ cm}$.

  • Ta có $OA = OB$ ($= R$) và $MA = MB$ nên $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB \Rightarrow OM \perp AB$.

Ví dụ 2:

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải ngắn gọn)

Đề bài

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 7\text{ cm})$ và đường thẳng $d$. Gọi $h$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $d$. Xác định vị trí tương đối của $d$ và $(O)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $h = 5\text{ cm}$

b) $h = 7\text{ cm}$

c) $h = 8,5\text{ cm}$

Bài 2: Cho đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và điểm $A$ cách $O$ một khoảng $OA = 8\text{ cm}$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn ($B, C$ là hai tiếp điểm).

a) Tính độ dài $AB$ và $AC$.

b) Tính số đo góc $\widehat{BAC}$.

Bài 3 (Vận dụng thực tế): Bánh xe của một chiếc xe đạp có bán kính $35\text{ cm}$ đứng yên trên mặt đường phẳng nằm ngang. Hãy cho biết vị trí tương đối giữa mặt đường (coi là một đường thẳng) và đường tròn viền ngoài của bánh xe, đồng thời tính khoảng cách từ trục bánh xe đến mặt đường.

Hướng dẫn giải ngắn gọn

Lời giải Bài 1:

• a) $h = 5\text{ cm} < 7\text{ cm} \Rightarrow d$ cắt $(O)$ tại $2$ điểm phân biệt.

• b) $h = 7\text{ cm} = R \Rightarrow d$ tiếp xúc với $(O)$ tại $1$ điểm.

• c) $h = 8,5\text{ cm} > 7\text{ cm} \Rightarrow d$ và $(O)$ không giao nhau.

Lời giải Bài 2:

• a) $\triangle OBA$ vuông tại $B$ ($AB \perp OB$) nên $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\text{ (cm)}$. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, $AC = AB = 4\sqrt{3}\text{ (cm)}$.

• b) Trong $\triangle OBA$ vuông tại $B$: $\sin\widehat{OAB} = \frac{OB}{OA} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{OAB} = 30^\circ$.

  Vì $AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAC} = 2\widehat{OAB} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Lời giải Bài 3:

• Mặt đường tiếp xúc với đường tròn viền ngoài của bánh xe tại điểm chạm đất (tiếp điểm).

• Khoảng cách từ trục bánh xe (tâm đường tròn) đến mặt đường đúng bằng bán kính bánh xe: $d = R = 35\text{ cm}$.