Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - lớp 9

(Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Định nghĩa: Bất phương trình dạng $ax + b > 0$ (hoặc $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$, $ax + b \le 0$), trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn là $x$).

• Nghiệm của bất phương trình: Số $x_0$ là một nghiệm của bất phương trình nếu khi thay $x = x_0$ vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

• Giải bất phương trình: Là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

2. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn $ax + b > 0$ ($a \neq 0$), ta thực hiện theo hai bước:

• Bước 1 (Chuyển vế): Chuyển hạng tử tự do $b$ sang vế phải và đổi dấu:

  $$ax > -b$$

• Bước 2 (Chia cả hai vế cho $a$):

  • Nếu $a > 0$ (giữ nguyên chiều bất đẳng thức): $x > -\frac{b}{a}$.

  • Nếu $a < 0$ (đổi chiều bất đẳng thức): $x < -\frac{b}{a}$.

• (Áp dụng tương tự cho các bất phương trình có dấu $<, \ge, \le$).

3. Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn

• Thực hiện các phép biến đổi tương tự như giải phương trình: bỏ dấu ngoặc, quy đồng mẫu thức và khử mẫu (lưu ý chỉ nhân/chia hai vế với mẫu số dương; nếu mẫu âm phải đổi chiều), chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia, thu gọn và giải.

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Nhận biết bất phương trình bậc nhất một ẩn và kiểm tra nghiệm

Ví dụ 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn? Nếu phải, hãy chỉ ra hệ số $a, b$:

a) $3x - 7 > 0$

b) $0x + 5 \le 0$

c) $x^2 - 2x < 0$

d) $-\frac{2}{3}x + 4 \ge 0$

Lời giải:

• Câu a: $3x - 7 > 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn với $a = 3, b = -7$.

• Câu b: Không phải vì hệ số $a = 0$.

• Câu c: Không phải vì bậc của ẩn $x$ là bậc $2$.

• Câu d: $-\frac{2}{3}x + 4 \ge 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn với $a = -\frac{2}{3}, b = 4$.

Ví dụ 2: Kiểm tra xem $x = -2$ có là nghiệm của bất phương trình $2x + 5 < 3 - x$ hay không?

Lời giải:

• Thay $x = -2$ vào hai vế của bất phương trình, ta được:

  • Vế trái: $2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.

  • Vế phải: $3 - (-2) = 3 + 2 = 5$.

• Vì $1 < 5$ là khẳng định đúng nên $x = -2$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Dạng 2: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn và bất phương trình đưa về dạng bậc nhất

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:

a) $4x - 12 > 0$

b) $-3x + 9 \le 0$

c) $3(2x - 1) - 5 \ge 4x + 2$

d) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} < 1$

Lời giải:

a) $4x - 12 > 0$

$$\Leftrightarrow 4x > 12 \Leftrightarrow x > 3$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 3$.

b) $-3x + 9 \le 0$

$$\Leftrightarrow -3x \le -9$$

Chia cả hai vế cho $-3$ (số âm nên đổi chiều bất đẳng thức):

$$\Leftrightarrow x \ge 3$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge 3$.

c) $3(2x - 1) - 5 \ge 4x + 2$

$$\Leftrightarrow 6x - 3 - 5 \ge 4x + 2$$

$$\Leftrightarrow 6x - 8 \ge 4x + 2$$

$$\Leftrightarrow 6x - 4x \ge 2 + 8$$

$$\Leftrightarrow 2x \ge 10 \Leftrightarrow x \ge 5$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge 5$.

d) $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} < 1$

Nhân cả hai vế với mẫu số chung là $6$ (vì $6 > 0$ nên giữ nguyên chiều):

$$2(2x - 1) - 3(x + 2) < 6$$

$$\Leftrightarrow 4x - 2 - 3x - 6 < 6$$

$$\Leftrightarrow x - 8 < 6$$

$$\Leftrightarrow x < 14$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 14$.

Dạng 3: Giải bài toán thực tế bằng cách lập bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 4: Một hãng taxi quy định giá cước như sau: giá mở cửa cho kilômét đầu tiên là $12\,000\text{ đồng}$, từ kilômét thứ $2$ trở đi giá cước là $15\,000\text{ đồng/km}$. Bác Hùng có $200\,000\text{ đồng}$ trong ví. Hỏi bác Hùng có thể đi được quãng đường tối đa là bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng phần mười)?

Lời giải:

• Gọi độ dài quãng đường bác Hùng đi được là $x\text{ (km)}$ ($x > 1$).

• Số kilômét tính từ kilômét thứ $2$ trở đi là $x - 1\text{ (km)}$.

• Tổng số tiền bác Hùng phải trả cho quãng đường $x\text{ (km)}$ là:

  $$12\,000 + 15\,000(x - 1) \quad (\text{đồng})$$

• Vì bác Hùng chỉ có $200\,000\text{ đồng}$ nên tổng số tiền phải trả không được vượt quá $200\,000\text{ đồng}$, ta có bất phương trình:

  $$12\,000 + 15\,000(x - 1) \le 200\,000$$

  $$\Leftrightarrow 12 + 15(x - 1) \le 200$$

  $$\Leftrightarrow 12 + 15x - 15 \le 200$$

  $$\Leftrightarrow 15x - 3 \le 200$$

  $$\Leftrightarrow 15x \le 203 \Leftrightarrow x \le \frac{203}{15} \approx 13,53$$

• Vậy: Bác Hùng có thể đi được quãng đường tối đa khoảng $13,5\text{ km}$.

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a) $5x + 15 < 0$

b) $-2x + 7 \ge 1$

c) $2(x + 3) - 4(x - 1) > 0$

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{3x + 1}{4} \ge \frac{x - 2}{3}$

b) $\frac{x - 1}{2} - \frac{2x + 1}{5} \le \frac{3x - 2}{10}$

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của $x$ thỏa mãn bất phương trình:

$$4x - 9 < 2x + 1$$

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Để đạt danh hiệu Học sinh Giỏi cuối năm, điểm trung bình tất cả các môn của bạn An phải đạt từ $8,0$ trở lên. Sau $7$ môn học đầu tiên, tổng điểm trung bình các môn của bạn An là $55,2$ điểm. Hỏi ở môn học thứ $8$ (môn cuối cùng), bạn An cần đạt ít nhất bao nhiêu điểm để đạt được mục tiêu trên?

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1:

a) $5x + 15 < 0 \Leftrightarrow 5x < -15 \Leftrightarrow x < -3$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -3$.

b) $-2x + 7 \ge 1 \Leftrightarrow -2x \ge -6 \Leftrightarrow x \le 3$ (chia hai vế cho $-2 < 0$, đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le 3$.

c) $2(x + 3) - 4(x - 1) > 0 \Leftrightarrow 2x + 6 - 4x + 4 > 0 \Leftrightarrow -2x + 10 > 0 \Leftrightarrow -2x > -10 \Leftrightarrow x < 5$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 5$.

Lời giải Bài 2:

a) $\frac{3x + 1}{4} \ge \frac{x - 2}{3}$

Nhân hai vế với mẫu chung $12 > 0$:

$$3(3x + 1) \ge 4(x - 2) \Leftrightarrow 9x + 3 \ge 4x - 8 \Leftrightarrow 5x \ge -11 \Leftrightarrow x \ge -\frac{11}{5}$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge -\frac{11}{5}$.

b) $\frac{x - 1}{2} - \frac{2x + 1}{5} \le \frac{3x - 2}{10}$

Nhân hai vế với mẫu chung $10 > 0$:

$$5(x - 1) - 2(2x + 1) \le 3x - 2$$

$$\Leftrightarrow 5x - 5 - 4x - 2 \le 3x - 2$$

$$\Leftrightarrow x - 7 \le 3x - 2$$

$$\Leftrightarrow -2x \le 5 \Leftrightarrow x \ge -\frac{5}{2}$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge -\frac{5}{2}$.

Lời giải Bài 3:

• Giải bất phương trình:

  $$4x - 9 < 2x + 1 \Leftrightarrow 2x < 10 \Leftrightarrow x < 5$$

• Vì $x$ là số nguyên dương ($x \in \mathbb{N}^*$) và $x < 5$ nên $x \in \{1; 2; 3; 4\}$.

• Đáp số: $x \in \{1; 2; 3; 4\}$.

Lời giải Bài 4:

• Gọi điểm môn thứ $8$ của bạn An là $x$ ($0 \le x \le 10$).

• Điểm trung bình của cả $8$ môn là $\frac{55,2 + x}{8}$.

• Để điểm trung bình đạt từ $8,0$ trở lên, ta có bất phương trình:

  $$\frac{55,2 + x}{8} \ge 8,0$$

  $$\Leftrightarrow 55,2 + x \ge 64$$

  $$\Leftrightarrow x \ge 64 - 55,2 \Leftrightarrow x \ge 8,8$$

• Đáp số: Bạn An cần đạt ít nhất $8,8$ điểm ở môn học thứ $8$.