Bài 14: Cung và dây của một đường tròn - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết cốt lõi

1. Dây và đường kính của đường tròn:

   • Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt nằm trên đường tròn được gọi là dây (hay dây cung).

   • Dây đi qua tâm được gọi là đường kính của đường tròn.

   • Định lí 1: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất (với mọi dây $AB$, ta luôn có $AB \le 2R$; dấu "$=$" xảy ra khi $AB$ là đường kính).

2. Góc ở tâm và cung bị chắn:

   • Góc ở tâm: Là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn (kí hiệu $\widehat{AOB}$, với $0^\circ < \widehat{AOB} < 180^\circ$, hoặc góc bẹt $180^\circ$).

   • Cung bị chắn: Hai điểm $A, B$ chia đường tròn thành hai cung (kí hiệu $\overset{\frown}{AB}$): cung nằm bên trong góc $\widehat{AOB}$ gọi là cung nhỏ (kí hiệu $\overset{\frown}{AmB}$), cung còn lại gọi là cung lớn ($\overset{\frown}{AnB}$).

   • Số đo cung:

     • Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó: $\text{sđ}\overset{\frown}{AmB} = \widehat{AOB}$.

     • Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ$ và số đo của cung nhỏ có chung hai đầu mút: $\text{sđ}\overset{\frown}{AnB} = 360^\circ - \text{sđ}\overset{\frown}{AmB}$.

     • Số đo của nửa đường tròn bằng $180^\circ$.

   • Cộng số đo cung: Nếu điểm $C$ nằm trên cung $AB$ thì: $\text{sđ}\overset{\frown}{AB} = \text{sđ}\overset{\frown}{AC} + \text{sđ}\overset{\frown}{CB}$.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: So sánh dây và đường kính

Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và dây $AB = 8\text{ cm}$. Kẻ $OH \perp AB$ tại $H$. Tính khoảng cách $OH$ từ tâm $O$ đến dây $AB$ và chứng minh $AB < 2R$.

• Giải:

  • $\triangle OAB$ cân tại $O$ ($OA = OB = R = 5\text{ cm}$) có đường cao $OH$ đồng thời là đường trung tuyến nên $HA = HB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ (cm)}$.

  • Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle OHA$ vuông tại $H$:

    $$OH = \sqrt{OA^2 - HA^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\text{ (cm)}$$

  • Ta có $AB = 8\text{ cm} < 10\text{ cm} = 2R$.

Ví dụ 1:

Ví dụ 2: Tính số đo góc ở tâm và số đo cung bị chắn

Cho đường tròn $(O)$ và hai bán kính $OA, OB$ vuông góc với nhau ($\widehat{AOB} = 90^\circ$). Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$ sao cho $\widehat{AOC} = 35^\circ$. Tính số đo cung nhỏ $BC$ và số đo cung lớn $AB$.

• Giải:

  • Vì điểm $C$ nằm trên cung nhỏ $AB$ nên:

    $$\text{sđ}\overset{\frown}{AC} + \text{sđ}\overset{\frown}{CB} = \text{sđ}\overset{\frown}{AB} \Rightarrow \text{sđ}\overset{\frown}{BC} = \widehat{AOB} - \widehat{AOC} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$$

  • Số đo cung lớn $AB$ là:

    $$\text{sđ}\overset{\frown}{AnB} = 360^\circ - \text{sđ}\overset{\frown}{AB} = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$$

Ví dụ 2:

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải ngắn gọn)

Đề bài

Bài 1: Cho đường tròn $(O; 10\text{ cm})$. Một dây $CD$ có khoảng cách từ tâm $O$ đến $CD$ bằng $6\text{ cm}$. Tính độ dài dây $CD$.

Bài 2: Cho hai tiếp tuyến (hoặc hai bán kính) tạo với nhau góc ở tâm $\widehat{MON} = 120^\circ$ trên đường tròn $(O)$. Tính số đo cung nhỏ $MN$ và số đo cung lớn $MN$.

Bài 3 (Vận dụng): Kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ tạo với nhau một góc ở tâm có số đo bao nhiêu độ lúc $4\text{ giờ}$ đúng? Từ đó suy ra số đo của cung nhỏ và cung lớn giới hạn bởi hai đầu kim trên mặt đồng hồ.

Hướng dẫn giải ngắn gọn

Lời giải Bài 1:

• Kẻ $OI \perp CD$ tại $I \Rightarrow OI = 6\text{ cm}$ và $I$ là trung điểm của $CD$.

• Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle OIC$ vuông tại $I$:

  $$IC = \sqrt{OC^2 - OI^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ (cm)} \Rightarrow CD = 2IC = 16\text{ (cm)}$$

Lời giải Bài 2:

• Số đo cung nhỏ $MN$ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó: $\text{sđ}\overset{\frown}{MN}_{\text{nhỏ}} = \widehat{MON} = 120^\circ$.

• Số đo cung lớn $MN$ là: $\text{sđ}\overset{\frown}{MN}_{\text{lớn}} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Lời giải Bài 3:

• Mặt đồng hồ chia thành $12$ khoảng giờ bằng nhau, mỗi khoảng ứng với góc ở tâm $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

• Lúc $4\text{ giờ}$ đúng, kim giờ chỉ số $4$, kim phút chỉ số $12$, cách nhau $4$ khoảng nên góc ở tâm là $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

• Vậy cung nhỏ có số đo $120^\circ$ và cung lớn có số đo $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.