Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - lớp 9

(Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

• Với hai biểu thức $A, B$ mà $B \ge 0$, ta có:

  $$\sqrt{A^2 \cdot B} = \vert{}A\vert{}\sqrt{B} = \begin{cases} A\sqrt{B} & \text{nếu } A \ge 0 \\ -A\sqrt{B} & \text{nếu } A < 0 \end{cases}$$

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Với $A \ge 0$ và $B \ge 0$:

  $$A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 \cdot B}$$

• Với $A < 0$ và $B \ge 0$:

  $$A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 \cdot B}$$

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

• Với các biểu thức $A, B$ mà $A \cdot B \ge 0$ và $B \neq 0$, ta nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với $B$ để mẫu trở thành $B^2 > 0$:

  $$\sqrt{\frac{A}{B}} = \sqrt{\frac{A \cdot B}{B^2}} = \frac{\sqrt{A \cdot B}}{\vert{}B\vert{}}$$

4. Trục căn thức ở mẫu

Là phép biến đổi làm mất dấu căn ở mẫu thức của một phân thức bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức thích hợp (thường dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$):

• Dạng 1: Với $B > 0$:

  $$\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B}$$

• Dạng 2: Với $A \ge 0$ và $A \neq B^2$:

  $$\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A - B^2}$$

• Dạng 3: Với $A \ge 0, B \ge 0$ và $A \neq B$:

  $$\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$$

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn (Ứng dụng so sánh số)

Ví dụ 1: a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{72}$ và $\sqrt{18x^2y}$ (với $x < 0, y \ge 0$). b) Đưa thừa số vào trong dấu căn: $3\sqrt{5}$ và $-2\sqrt{7}$. c) So sánh $3\sqrt{7}$ và $4\sqrt{4}$.

Lời giải: a)

• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

• Với $x < 0, y \ge 0$: $\sqrt{18x^2y} = \sqrt{9x^2 \cdot 2y} = 3\vert{}x\vert{}\sqrt{2y} = -3x\sqrt{2y}$ (vì $x < 0 \Rightarrow \vert{}x\vert{} = -x$).

b)

• $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

• $-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28}$.

c) Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh:

• $3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{63}$.

• $4\sqrt{4} = \sqrt{4^2 \cdot 4} = \sqrt{64}$.

• Vì $63 < 64$ nên $\sqrt{63} < \sqrt{64}$, hay $3\sqrt{7} < 4\sqrt{4}$.

Dạng 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn và Trục căn thức ở mẫu

Ví dụ 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu: a) $\sqrt{\frac{3}{5}}$ b) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ c) $\frac{4}{\sqrt{5} - 1}$ d) $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

Lời giải: a) $\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5}{5^2}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

b) $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

c) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của $\sqrt{5} - 1$ là $\sqrt{5} + 1$:

$$\frac{4}{\sqrt{5} - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1$$

d) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ là $\sqrt{7} - \sqrt{5}$:

$$\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp: Phối hợp linh hoạt các phép biến đổi: đưa thừa số ra ngoài dấu căn để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng, trục căn thức ở mẫu, quy đồng mẫu thức và rút gọn nhân tử chung.

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) $A = 2\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3\sqrt{5} - \frac{10}{\sqrt{5}}$ b) $B = \left(\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}\right) \cdot \frac{x - 1}{2}$ với $x \ge 0, x \neq 1$

Lời giải: a)

$$A = 2\sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{9 \cdot 5} + 3\sqrt{5} - \frac{10\sqrt{5}}{5}$$

$$= 2 \cdot 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$$

$$= 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$

b) Với $x \ge 0, x \neq 1$, mẫu thức chung trong ngoặc là $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1$:

$$B = \frac{(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{x - 1}{2}$$

$$= \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{2}$$

$$= \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{2} = 1$$

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Rút gọn các biểu thức số sau: a) $M = \sqrt{48} - 2\sqrt{27} + \sqrt{75}$ b) $N = \frac{3}{\sqrt{3} - 2} + \frac{3}{\sqrt{3} + 2}$ c) $P = \left(\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}\right) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

Bài 2: So sánh: a) $5\sqrt{2}$ và $4\sqrt{3}$ b) $-3\sqrt{6}$ và $-4\sqrt{3}$

Bài 3: Cho biểu thức:

$$Q = \left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2}\right) : \frac{x + 4}{x - 4} \quad (\text{với } x \ge 0, x \neq 4)$$

a) Rút gọn biểu thức $Q$. b) Tính giá trị của $Q$ khi $x = 9$.

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(3; 3)$ và điểm $B(6; 0)$. Tính độ dài đoạn thẳng $OA$, $AB$ và chu vi tam giác $OAB$ (viết kết quả dưới dạng căn thức thu gọn).

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1: a) $M = \sqrt{16 \cdot 3} - 2\sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{25 \cdot 3} = 4\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

b)

$$N = \frac{3(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} + \frac{3(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)}$$

$$= \frac{3\sqrt{3} + 6}{3 - 4} + \frac{3\sqrt{3} - 6}{3 - 4} = -(3\sqrt{3} + 6) - (3\sqrt{3} - 6) = -6\sqrt{3}$$

c) Đặt nhân tử chung trên tử để rút gọn:

$$P = \left[\frac{\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)}{-(\sqrt{2} - 1)} + \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)}{-(\sqrt{3} - 1)}\right] \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5})$$

$$= (-\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = -(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = -(7 - 5) = -2$$

Lời giải Bài 2: a) Ta có: $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$ và $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$. Vì $50 > 48 \Rightarrow \sqrt{50} > \sqrt{48} \Rightarrow 5\sqrt{2} > 4\sqrt{3}$.

b) Ta có: $-3\sqrt{6} = -\sqrt{9 \cdot 6} = -\sqrt{54}$ và $-4\sqrt{3} = -\sqrt{16 \cdot 3} = -\sqrt{48}$. Vì $54 > 48 \Rightarrow \sqrt{54} > \sqrt{48} \Rightarrow -\sqrt{54} < -\sqrt{48} \Rightarrow -3\sqrt{6} < -4\sqrt{3}$.

Lời giải Bài 3: a) Với $x \ge 0, x \neq 4$:

$$Q = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + 2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \cdot \frac{x - 4}{x + 4}$$

$$= \frac{x - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 4}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{x + 4}$$

$$= \frac{x + 4}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{x + 4} = 1$$

b) Vì $Q = 1$ với mọi $x \ge 0, x \neq 4$, nên khi $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện), giá trị của $Q$ bằng $1$.

Lời giải Bài 4:

• Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ:

  • Độ dài $OA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ (đơn vị độ dài).

  • Độ dài $AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ (đơn vị độ dài).

  • Độ dài $OB = 6$ (đơn vị độ dài).

• Chu vi tam giác $OAB$ là:

  $$C_{\triangle OAB} = OA + AB + OB = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 6 = 6\sqrt{2} + 6 \quad (\text{đơn vị độ dài})$$