Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai - lớp 9

(Sách giáo khoa Toán 9 – Tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống)

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Căn bậc hai

• Định nghĩa: Căn bậc hai của một số thực $a$ không âm là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$.

• Số lượng căn bậc hai của số $a$:

  • Nếu $a > 0$: Số $a$ có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là $\sqrt{a}$ (gọi là căn bậc hai số học của $a$) và số âm kí hiệu là $-\sqrt{a}$.

  • Nếu $a = 0$: Số $0$ có đúng một căn bậc hai là chính nó: $\sqrt{0} = 0$.

  • Nếu $a < 0$: Số âm không có căn bậc hai.

• Tính chất cơ bản: Với mọi số thực $a \ge 0$, ta luôn có:

  $$\sqrt{a} \ge 0 \quad \text{và} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$$

2. Căn thức bậc hai

• Định nghĩa: Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của $A$, còn $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

• Điều kiện xác định (Điều kiện có nghĩa):

  $$\sqrt{A} \text{ xác định (có nghĩa)} \Leftrightarrow A \ge 0$$

• Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{}$: Với mọi biểu thức đại số $A$, ta có:

  $$\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{} = \begin{cases} A & \text{nếu } A \ge 0 \\ -A & \text{nếu } A < 0 \end{cases}$$

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số và tính giá trị biểu thức số

Ví dụ 1: a) Tìm các căn bậc hai của $64$ và $\frac{9}{25}$. b) Tính giá trị của các biểu thức: $M = \sqrt{81} - \sqrt{16} + \left(\sqrt{5}\right)^2$; $N = \sqrt{(-7)^2} - \sqrt{2,25}$.

Lời giải: a)

• Vì $8^2 = 64$ và $(-8)^2 = 64$ nên $64$ có hai căn bậc hai là $8$ và $-8$.

• Vì $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ và $\left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ nên $\frac{9}{25}$ có hai căn bậc hai là $\frac{3}{5}$ và $-\frac{3}{5}$.

b)

• $M = \sqrt{81} - \sqrt{16} + \left(\sqrt{5}\right)^2 = 9 - 4 + 5 = 10$.

• $N = \sqrt{(-7)^2} - \sqrt{2,25} = \vert{}-7\vert{} - 1,5 = 7 - 1,5 = 5,5$.

Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của căn thức bậc hai

Phương pháp: Áp dụng quy tắc $\sqrt{A}$ xác định khi và chỉ khi $A \ge 0$. Nếu biểu thức dưới dấu căn có dạng phân thức $\frac{1}{B}$ thì cần $B > 0$ (vì mẫu thức phải khác $0$).

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi căn thức sau: a) $\sqrt{2x - 6}$ b) $\sqrt{5 - 3x}$ c) $\sqrt{\frac{4}{x + 1}}$

Lời giải: a) $\sqrt{2x - 6}$ xác định khi $2x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 6 \Leftrightarrow x \ge 3$.

b) $\sqrt{5 - 3x}$ xác định khi $5 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow -3x \ge -5 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{3}$.

c) $\sqrt{\frac{4}{x + 1}}$ xác định khi $\frac{4}{x + 1} \ge 0$. Vì tử thức $4 > 0$ nên phân thức không âm khi mẫu thức dương:

$$x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai dùng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{}$

Phương pháp:

1. Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương $A^2$ (thường dùng hằng đẳng thức đáng nhớ $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$).

2. Áp dụng $\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{}$.

3. Xét dấu biểu thức $A$ dựa vào điều kiện đề bài (hoặc so sánh hai số) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) $A = \sqrt{(3 - \sqrt{11})^2}$ b) $B = \sqrt{x^2 - 6x + 9} + 2x$ với $x < 3$ c) $C = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$

Lời giải: a) Ta có: $A = \sqrt{(3 - \sqrt{11})^2} = \vert{}3 - \sqrt{11}\vert{}$. So sánh $3$ và $\sqrt{11}$: Vì $3 = \sqrt{9}$ và $9 < 11$ nên $3 < \sqrt{11} \Rightarrow 3 - \sqrt{11} < 0$. Do đó: $\vert{}3 - \sqrt{11}\vert{} = -(3 - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - 3$. Vậy $A = \sqrt{11} - 3$.

b) Ta có:

$$B = \sqrt{x^2 - 6x + 9} + 2x = \sqrt{(x - 3)^2} + 2x = \vert{}x - 3\vert{} + 2x$$

Vì $x < 3$ nên $x - 3 < 0$, suy ra $\vert{}x - 3\vert{} = -(x - 3) = 3 - x$. Thay vào biểu thức $B$:

$$B = 3 - x + 2x = x + 3$$

c) Tách biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một hiệu:

$$6 - 2\sqrt{5} = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = \left(\sqrt{5} - 1\right)^2$$

Suy ra:

$$C = \sqrt{\left(\sqrt{5} - 1\right)^2} = \vert{}\sqrt{5} - 1\vert{}$$

Vì $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$ nên $\sqrt{5} - 1 > 0$. Vậy $C = \sqrt{5} - 1$.

Dạng 4: Giải phương trình dạng $\sqrt{A^2} = B$ hoặc $\sqrt{A} = m$ ($m \ge 0$)

Ví dụ 4: Tìm $x$, biết: a) $\sqrt{3x - 2} = 4$ b) $\sqrt{(2x - 1)^2} = 5$

Lời giải: a) $\sqrt{3x - 2} = 4$

• Điều kiện xác định: $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$.

• Bình phương hai vế của phương trình (vì hai vế đều không âm):

  $$3x - 2 = 16 \Leftrightarrow 3x = 18 \Leftrightarrow x = 6 \quad (\text{thỏa mãn } x \ge \frac{2}{3})$$

• Vậy $x = 6$.

b) $\sqrt{(2x - 1)^2} = 5 \Leftrightarrow \vert{}2x - 1\vert{} = 5$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &2x - 1 = 5 \\ &2x - 1 = -5 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &2x = 6 \\ &2x = -4 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 3 \\ &x = -2 \end{aligned} \right.$$

• Vậy $x \in \{3; -2\}$.

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $P = \sqrt{144} - 2\sqrt{36} + \sqrt{0,49}$ b) $Q = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}$

Bài 2: Tìm điều kiện của $x$ để mỗi căn thức sau có nghĩa: a) $\sqrt{4x + 12}$ b) $\sqrt{-2x + 7}$ c) $\sqrt{\frac{-3}{2x - 4}}$

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) $M = \sqrt{4a^2} - 3a$ với $a < 0$ b) $N = \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}$ với $-2 \le x \le 1$ c) $K = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Diện tích $S\text{ (m}^2)$ của một mảnh đất hình vuông được tính theo công thức $S = a^2$, trong đó $a\text{ (m)}$ là độ dài cạnh mảnh đất. Bác Ba có một mảnh đất hình vuông diện tích $196\text{ m}^2$. Bác muốn rào xung quanh mảnh đất đó bằng lưới thép B40 (để lại một lối đi rộng $2\text{ m}$). Hỏi bác Ba cần mua bao nhiêu mét lưới thép?

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1: a) $P = \sqrt{144} - 2\sqrt{36} + \sqrt{0,49} = 12 - 2 \cdot 6 + 0,7 = 12 - 12 + 0,7 = 0,7$.

b) $Q = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = \vert{}2 - \sqrt{5}\vert{} + \vert{}3 - \sqrt{5}\vert{}$. Vì $2 = \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} = 3$ nên $2 - \sqrt{5} < 0$ và $3 - \sqrt{5} > 0$. Suy ra:

$$Q = (\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = 1$$

Lời giải Bài 2: a) $\sqrt{4x + 12}$ có nghĩa khi $4x + 12 \ge 0 \Leftrightarrow 4x \ge -12 \Leftrightarrow x \ge -3$.

b) $\sqrt{-2x + 7}$ có nghĩa khi $-2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow -2x \ge -7 \Leftrightarrow x \le \frac{7}{2}$.

c) $\sqrt{\frac{-3}{2x - 4}}$ có nghĩa khi $\frac{-3}{2x - 4} \ge 0$. Vì tử thức $-3 < 0$ nên mẫu thức phải âm:

$$2x - 4 < 0 \Leftrightarrow 2x < 4 \Leftrightarrow x < 2$$

Lời giải Bài 3: a) $M = \sqrt{(2a)^2} - 3a = \vert{}2a\vert{} - 3a$. Vì $a < 0 \Rightarrow 2a < 0 \Rightarrow \vert{}2a\vert{} = -2a$. Vậy $M = -2a - 3a = -5a$.

b) $N = \sqrt{(x + 2)^2} - \sqrt{(x - 1)^2} = \vert{}x + 2\vert{} - \vert{}x - 1\vert{}$. Với $-2 \le x \le 1$, ta có $x + 2 \ge 0$ và $x - 1 \le 0$. Do đó $\vert{}x + 2\vert{} = x + 2$ và $\vert{}x - 1\vert{} = -(x - 1) = 1 - x$. Thay vào $N$:

$$N = (x + 2) - (1 - x) = x + 2 - 1 + x = 2x + 1$$

c) Ta có:

• $9 + 4\sqrt{5} = 5 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 4 = (\sqrt{5} + 2)^2$

• $9 - 4\sqrt{5} = 5 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 4 = (\sqrt{5} - 2)^2$ Suy ra:

  $$K = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} - \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = \vert{}\sqrt{5} + 2\vert{} - \vert{}\sqrt{5} - 2\vert{}$$

  Vì $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{5} - 2 > 0$. Vậy:

  $$K = (\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} + 2 = 4$$

Lời giải Bài 4:

• Độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông là: $a = \sqrt{196} = 14\text{ (m)}$ (vì $a > 0$).

• Chu vi của mảnh đất hình vuông là: $4 \cdot 14 = 56\text{ (m)}$.

• Vì bác Ba để lại một lối đi rộng $2\text{ m}$ nên chiều dài lưới thép cần mua là: $56 - 2 = 54\text{ (m)}$.

• Đáp số: Bác Ba cần mua $54\text{ m}$ lưới thép.