Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng - lớp 9

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (cạnh huyền $BC = a$, các cạnh góc vuông $AC = b$, $AB = c$). Khi đó:

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề:

  $$b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$$

  $$c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$$

2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề:

  $$b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$$

  $$c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$$

3. Giải tam giác vuông

• Khái niệm: Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một cạnh và một góc nhọn) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của nó. Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán giải tam giác vuông.

• Nguyên tắc thực hành:

  • Tìm góc nhọn còn lại: $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.

  • Tìm cạnh chưa biết: Chọn hệ thức lượng giác hoặc định lí Pythagore liên quan trực tiếp đến dữ kiện đề bài đã cho (hạn chế dùng kết quả trung gian đã làm tròn để tránh sai số tích lũy).

II. Các dạng toán thường gặp và Ví dụ minh họa

Dạng 1: Giải tam giác vuông khi biết một cạnh và một góc nhọn

Ví dụ 1: Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $BC = 10\text{ cm}$ và $\widehat{B} = 35^\circ$ (làm tròn độ dài cạnh đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

• Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

• Áp dụng hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông:

  • $AC = BC \cdot \sin B = 10 \cdot \sin 35^\circ \approx 10 \cdot 0,5736 \approx 5,74\text{ (cm)}$.

  • $AB = BC \cdot \cos B = 10 \cdot \cos 35^\circ \approx 10 \cdot 0,8192 \approx 8,19\text{ (cm)}$.

• Kết luận: $\widehat{C} = 55^\circ$, $AC \approx 5,74\text{ cm}$, $AB \approx 8,19\text{ cm}$.

Dạng 2: Giải tam giác vuông khi biết hai cạnh

Ví dụ 2: Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB = 6\text{ cm}$ và $AC = 9\text{ cm}$ (làm tròn số đo góc đến phút và độ dài cạnh đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

• Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

  $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} \approx 10,82\text{ (cm)}$$

• Xét góc nhọn $B$, ta có:

  $$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{6} = 1,5 \Rightarrow \widehat{B} \approx 56^\circ 19'$$

• Suy ra số đo góc nhọn $C$:

  $$\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} \approx 90^\circ - 56^\circ 19' = 33^\circ 41'$$

• Kết luận: $BC \approx 10,82\text{ cm}$, $\widehat{B} \approx 56^\circ 19'$, $\widehat{C} \approx 33^\circ 41'$.

Dạng 3: Tính cạnh và góc của tam giác thường bằng cách kẻ đường cao phụ

Phương pháp: Kẻ đường cao từ một đỉnh xuống cạnh đối diện để chia tam giác thường thành hai tam giác vuông, từ đó áp dụng hệ thức lượng giác trong từng tam giác vuông.

Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB = 8\text{ cm}$, $\widehat{B} = 60^\circ$, $\widehat{C} = 45^\circ$. Kẻ đường cao $AH$ ($H \in BC$). Tính độ dài các đoạn thẳng $AH$, $HC$ và $AC$.

Lời giải:

• Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, ta có:

  $$AH = AB \cdot \sin B = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ (cm)}$$

• Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$ có $\widehat{C} = 45^\circ$ nên $\triangle AHC$ vuông cân tại $H$, suy ra:

  $$HC = AH = 4\sqrt{3}\text{ (cm)}$$

• Tính độ dài $AC$ trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$:

  $$AC = \frac{AH}{\sin C} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{6}\text{ (cm)}$$

Dạng 4: Ứng dụng thực tế (Tính chiều cao, khoảng cách, góc nâng/góc hạ)

Ví dụ 4: Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất nằm ngang một góc $52^\circ$ và bóng của một cột cờ trên mặt đất dài $7,5\text{ m}$. Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

• Coi cột cờ thẳng đứng vuông góc với mặt đất tại chân cột, chiều cao cột cờ là $h\text{ (m)}$ (cạnh đối của góc $52^\circ$) và chiều dài bóng trên mặt đất là $7,5\text{ m}$ (cạnh kề của góc $52^\circ$).

• Áp dụng hệ thức giữa hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông:

  $$h = 7,5 \cdot \tan 52^\circ \approx 7,5 \cdot 1,2799 \approx 9,6\text{ (m)}$$

• Đáp số: Chiều cao của cột cờ khoảng $9,6\text{ m}$.

III. Bài tập tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài

Bài 1: Giải tam giác $MNP$ vuông tại $M$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc đến phút): a) $MP = 12\text{ cm}$, $\widehat{N} = 40^\circ$. b) $MN = 7\text{ cm}$, $NP = 15\text{ cm}$.

Bài 2: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có đường chéo $AC = 14\text{ cm}$ và góc tạo bởi đường chéo $AC$ với cạnh $AB$ là $\widehat{CAB} = 30^\circ$. Tính diện tích của hình chữ nhật $ABCD$.

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có $BC = 12\text{ cm}$, $\widehat{B} = 50^\circ$, $\widehat{C} = 35^\circ$. Kẻ đường cao $AH$ ($H \in BC$). Tính độ dài đường cao $AH$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Bài 4 (Vận dụng thực tế): Một người đứng ở vị trí $A$ trên bờ sông nhìn sang một cái cây ở vị trí $B$ bên kia bờ sông theo phương vuông góc với bờ sông. Người đó đi dọc theo bờ sông một đoạn $AC = 45\text{ m}$ thì nhìn thấy cái cây ở vị trí $B$ dưới một góc $\widehat{ACB} = 58^\circ$. Tính bề rộng $AB$ của khúc sông đó (làm tròn đến mét).

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải Bài 1: a) $\triangle MNP$ vuông tại $M$ có $\widehat{N} = 40^\circ \Rightarrow \widehat{P} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

• $MN = MP \cdot \cot N = 12 \cdot \cot 40^\circ \approx 12 \cdot 1,1918 \approx 14,3\text{ (cm)}$.

• $NP = \frac{MP}{\sin N} = \frac{12}{\sin 40^\circ} \approx \frac{12}{0,6428} \approx 18,7\text{ (cm)}$.

b) $\triangle MNP$ vuông tại $M$:

• $MP = \sqrt{NP^2 - MN^2} = \sqrt{15^2 - 7^2} = \sqrt{176} \approx 13,3\text{ (cm)}$.

• $\cos N = \frac{MN}{NP} = \frac{7}{15} \Rightarrow \widehat{N} \approx 62^\circ 11'$.

• $\widehat{P} = 90^\circ - \widehat{N} \approx 90^\circ - 62^\circ 11' = 27^\circ 49'$.

Lời giải Bài 2:

• Xét $\triangle ABC$ vuông tại $B$, ta có:

  • $AB = AC \cdot \cos\widehat{CAB} = 14 \cdot \cos 30^\circ = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}\text{ (cm)}$.

  • $BC = AC \cdot \sin\widehat{CAB} = 14 \cdot \sin 30^\circ = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7\text{ (cm)}$.

• Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là:

  $$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 7\sqrt{3} \cdot 7 = 49\sqrt{3}\text{ (cm}^2)$$

Lời giải Bài 3:

• Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$: $BH = AH \cdot \cot B = AH \cdot \cot 50^\circ$.

• Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$: $CH = AH \cdot \cot C = AH \cdot \cot 35^\circ$.

• Vì $B$ và $C$ đều nhọn nên $H$ nằm giữa $B$ và $C$, do đó $BH + CH = BC$:

  $$AH(\cot 50^\circ + \cot 35^\circ) = 12$$

  $$\Rightarrow AH = \frac{12}{\cot 50^\circ + \cot 35^\circ} \approx \frac{12}{0,8391 + 1,4281} = \frac{12}{2,2672} \approx 5,29\text{ (cm)}$$

Lời giải Bài 4:

• Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, bề rộng khúc sông $AB$ là cạnh đối của góc $\widehat{ACB} = 58^\circ$, đoạn đường $AC = 45\text{ m}$ là cạnh kề:

  $$AB = AC \cdot \tan\widehat{ACB} = 45 \cdot \tan 58^\circ \approx 45 \cdot 1,6003 \approx 72\text{ (m)}$$

• Đáp số: Bề rộng của khúc sông khoảng $72\text{ m}$.